Упр.1033 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:
   1) $$f(x)=\cos x$$, $$M(0;-2)$$;
   2) $$f(x)=\sin x$$, $$M(-\pi;0)$$;
   3) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$, $$M(4;5)$$;
   4) $$f(x)=e^x$$, $$M(0;2)$$;
   5) $$f(x)=3x^2+1$$, $$M(1;-2)$$;
   6) $$f(x)=2-2x$$, $$M(2;3)$$.

1) $$F'(x)=\cos x \Rightarrow F(x)=\sin x+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(0;-2),$$ то

$$-2=\sin 0+C,$$

$$C=-2.$$

Следовательно, $$F(x)=\sin x-2.$$

2) $$F'(x)=\sin x \Rightarrow F(x)=-\cos x+C.$$

Из условия $$M(-\pi;0)$$ получаем:

$$0=-\cos(-\pi)+C=-\cos \pi + C=1+C,$$

$$C=-1.$$

Значит, $$F(x)=-\cos x-1.$$

3) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}.$$

Тогда

$$F(x)=\int x^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x}+C.$$

Из точки $$M(4;5)$$:

$$5=2\sqrt{4}+C,$$

$$5=4+C,$$

$$C=1.$$

Следовательно, $$F(x)=2\sqrt{x}+1.$$

4) $$F'(x)=e^x \Rightarrow F(x)=e^x+C.$$

Так как $$M(0;2),$$ то

$$2=e^0+C=1+C,$$

$$C=1.$$

Значит, $$F(x)=e^x+1.$$

5) $$F'(x)=3x^2+1 \Rightarrow F(x)=x^3+x+C.$$

Из условия $$M(1;-2)$$:

$$-2=1^3+1+C,$$

$$-2=2+C,$$

$$C=-4.$$

Следовательно, $$F(x)=x^3+x-4.$$

6) $$F'(x)=2-2x \Rightarrow F(x)=2x-x^2+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(2;3),$$ то

$$3=2\cdot 2-2^2+C,$$

$$3=4-4+C,$$

$$C=3.$$

Значит, $$F(x)=2x-x^2+3.$$

Ответ

1) $$\sin x-2$$; 2) $$-\cos x-1$$; 3) $$2\sqrt{x}+1$$; 4) $$e^x+1$$; 5) $$x^3+x-4$$; 6) $$2x-x^2+3$$.