Упр.1030 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1030 Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась до 0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится до 0,5 г?

Пусть масса радия изменяется по закону

$$m(t)=m_0e^{-kt},$$

где $$m_0=1$$ г.

Из условия через 10 лет масса стала равной $$0{,}999$$ г, значит

$$0{,}999=e^{-10k}.$$

Тогда

$$-10k=\ln 0{,}999,$$

$$k=-\frac{\ln 0{,}999}{10}.$$

Теперь найдём момент, когда масса станет равной $$0{,}5$$ г:

$$0{,}5=e^{-kt}=e^{\frac{\ln 0{,}999}{10}t}.$$

Отсюда

$$\frac{\ln 0{,}999}{10}\,t=\ln 0{,}5,$$

$$t=\frac{10\ln 0{,}5}{\ln 0{,}999}.$$

Вычислим приближённо:

$$t\approx \frac{10\cdot(-0{,}6931)}{-0{,}0010}\approx 6931.$$

Ответ

$$t=\frac{10\ln 0{,}5}{\ln 0{,}999}\approx 6931\text{ год}.$$