Упр.1028 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:

1. $$y’=\sin x,\quad y(0)=0$$;
2. $$y’=2\cos x,\quad y(\pi)=1$$;
3. $$y’=3x^2+4x-1,\quad y(1)=-2$$;
4. $$y’=2+2x-3x^2,\quad y(-1)=2$$;
5. $$y’=e^x,\quad y(1)=1$$;
6. $$y’=e^{-x},\quad y(0)=2$$.

1. $$y’=\sin x,\quad y(0)=0$$

   $$y=-\cos x+C$$

   Подставим условие $$y(0)=0$$:

   $$0=-\cos 0+C=-1+C,$$

   откуда $$C=1.$$

   $$y=1-\cos x$$

2. $$y’=2\cos x,\quad y(\pi)=1$$

   $$y=2\sin x+C$$

   Подставим условие $$y(\pi)=1$$:

   $$1=2\sin \pi+C=0+C,$$

   откуда $$C=1.$$

   $$y=2\sin x+1$$

3. $$y’=3x^2+4x-1,\quad y(1)=-2$$

   $$y=x^3+2x^2-x+C$$

   Подставим условие $$y(1)=-2$$:

   $$-2=1+2-1+C,$$

   $$-2=2+C,$$

   откуда $$C=-4.$$

   $$y=x^3+2x^2-x-4$$

4. $$y’=2+2x-3x^2,\quad y(-1)=2$$

   $$y=2x+x^2-x^3+C$$

   Подставим условие $$y(-1)=2$$:

   $$2=2(-1)+(-1)^2-(-1)^3+C,$$

   $$2=-2+1+1+C,$$

   откуда $$C=2.$$

   $$y=2x+x^2-x^3+2$$

5. $$y’=e^x,\quad y(1)=1$$

   $$y=e^x+C$$

   Подставим условие $$y(1)=1$$:

   $$1=e+C,$$

   откуда $$C=1-e.$$

   $$y=e^x+1-e$$

6. $$y’=e^{-x},\quad y(0)=2$$

   $$y=-e^{-x}+C$$

   Подставим условие $$y(0)=2$$:

   $$2=-e^0+C=-1+C,$$

   откуда $$C=3.$$

   $$y=3-e^{-x}$$