Упр.1024 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Фигура ограничена линиями $$y=x^2+1$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=1$$. Найти точку $$(x_0; y_0)$$ графика функции $$y=x^2+1$$, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.

Пусть $$x_0=a$$ — абсцисса точки касания, тогда $$y_0=a^2+1$$.

Для функции $$y=x^2+1$$ производная равна $$y’=2x$$, значит угловой коэффициент касательной в точке $$x=a$$ равен $$2a$$.

Уравнение касательной:

$$y-(a^2+1)=2a(x-a),$$

откуда

$$y=2ax-a^2+1.$$

Искомая трапеция ограничена прямыми $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=1$$ и касательной. Её площадь равна

$$S(a)=\int_0^1 (2ax-a^2+1)\,dx.$$

Вычислим:

$$S(a)=\left(ax^2-a^2x+x\right)\Big|_0^1=a-a^2+1.$$

Найдём максимум функции $$S(a)=-a^2+a+1$$:

$$S'(a)=-2a+1.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$-2a+1=0,\qquad a=\frac12.$$

Тогда

$$y_0=a^2+1=\left(\frac12\right)^2+1=\frac14+1=\frac54.$$

Ответ: $$\left(\frac12;\frac54\right).$$