Упр.1024 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1024 Фигура ограничена линиями у = х2 + 1, у — 0, х = 0, х = 1. Найти точку (х0; у0) графика функции у = х2 + 1, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.

Подробный ответ

Пусть искомая точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда для функции $$y=x^2+1$$ производная равна $$y’=2x$$, значит угловой коэффициент касательной в точке $$x=a$$ равен $$2a$$.

Уравнение касательной:

$$ y-(a^2+1)=2a(x-a) $$

откуда

$$ y=2ax-a^2+1. $$

Площадь отсечённой трапеции равна площади фигуры под касательной на отрезке $$[0;1]$$:

$$ S(a)=\int\limits_0^1 (2ax-a^2+1)\,dx = \left(ax^2-a^2x+x\right)\Big|_0^1 = a-a^2+1. $$

Найдём максимум функции $$S(a)= -a^2+a+1$$:

$$ S'(a)=1-2a. $$

$$ 1-2a=0 \quad \Rightarrow \quad a=\frac12. $$

Так как $$S»(a)=-2<0$$, это точка максимума.

Найдём ординату точки касания:

$$ y_0=a^2+1=\left(\frac12\right)^2+1=\frac14+1=\frac54. $$