Упр.1021 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) прямой у = 1, осью Оу и графиком функции у = sin х при 0 < =x < = пи/2

1. Найдём точки пересечения графиков $$y=2-x^2$$ и $$y=-x$$:

   $$2-x^2=-x$$

   $$x^2-x-2=0$$

   $$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$

   $$x=-1,\; x=2$$

   На отрезке $$[-1;2]$$ сверху расположена парабола $$y=2-x^2$$, снизу — прямая $$y=-x$$. Тогда

   $$S=\int_{-1}^{2}\left((2-x^2)-(-x)\right)\,dx=\int_{-1}^{2}\left(2-x^2+x\right)\,dx$$

   $$S=\left(2x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^{2}$$

   $$S=\left(4-\frac{8}{3}+2\right)-\left(-2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{2}$$

2. Найдём точки пересечения графиков $$y=1$$ и $$y=\sin x$$ при $$0\le x\le \frac{\pi}{2}$$:

   $$1=\sin x$$

   $$x=\frac{\pi}{2}$$

   Тогда искомая площадь равна

   $$S=\int_{0}^{\pi/2}\left(1-\sin x\right)\,dx$$

   $$S=\left(x+\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}+0-0-1=\frac{\pi}{2}-1$$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{\pi}{2}-1$$.