Упр.1021 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Параболой $$y=2-x^2$$ и прямой $$y=-x$$.
2. Прямой $$y=1$$, осью $$Oy$$ и графиком функции $$y=\sin x$$ при $$0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$$.

1) Найдём точки пересечения графиков $$y=2-x^2$$ и $$y=-x$$:

$$2-x^2=-x$$

$$x^2-x-2=0$$

$$x_1=-1,\quad x_2=2$$

На отрезке $$[-1;2]$$ сверху расположена парабола $$y=2-x^2$$, снизу — прямая $$y=-x$$. Тогда площадь фигуры равна

$$S=\int_{-1}^{2}\bigl((2-x^2)-(-x)\bigr)\,dx=\int_{-1}^{2}(2+x-x^2)\,dx.$$

$$S=\left(2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{2}$$

$$S=\left(4+2-\frac{8}{3}\right)-\left(-2+\frac12+\frac13\right)=\frac{9}{2}.$$

2) Найдём площадь фигуры, ограниченной прямой $$y=1$$, осью $$Oy$$ и графиком функции $$y=\sin x$$ при $$0\le x\le \frac{\pi}{2}$$.

Точка пересечения графиков:

$$1=\sin x \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда искомая площадь:

$$S=\int_{0}^{\pi/2}(1-\sin x)\,dx.$$

$$S=\left(x+\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}+0-0-1=\frac{\pi}{2}-1.$$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{\pi}{2}-1$$.