Упр.1020 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Параболой $$y=6x-x^2$$ и прямой $$y=x+4$$.
2. Параболой $$y=4-x^2$$ и прямой $$y=x+2$$.

1) Найдём точки пересечения графиков $$y=6x-x^2$$ и $$y=x+4$$:

$$6x-x^2=x+4$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$D=25-16=9$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

$$x_1=1,\quad x_2=4$$

На отрезке $$[1;4]$$ сверху расположена парабола, поэтому

$$S=\int\limits_{1}^{4}\bigl((6x-x^2)-(x+4)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{4}(-x^2+5x-4)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right)\Bigg|_{1}^{4}$$

$$S=\left(-\frac{64}{3}+40-16\right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-4\right)=\frac{9}{2}$$

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=4-x^2$$ и $$y=x+2$$:

$$4-x^2=x+2$$

$$x^2+x-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=1$$

На отрезке $$[-2;1]$$ сверху расположена парабола, поэтому

$$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((4-x^2)-(x+2)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}$$

$$S=\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right)-\left(\frac{8}{3}-2-4\right)=\frac{9}{2}$$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{9}{2}$$.