Упр.1020 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) параболой у = 4 — х2 и прямой у = х + 2.

1. Для функций $$y=6x-x^2$$ и $$y=x+4$$ найдём точки пересечения:

   $$6x-x^2=x+4$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-16=9,$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}, \quad x_1=1,\; x_2=4.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int\limits_{1}^{4}\bigl((6x-x^2)-(x+4)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{4}(-x^2+5x-4)\,dx.$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right)\Bigg|_{1}^{4}$$

   $$S=\left(-\frac{64}{3}+40-16\right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-4\right)=\frac{9}{2}.$$

2. Для функций $$y=4-x^2$$ и $$y=x+2$$ найдём точки пересечения:

   $$4-x^2=x+2$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}, \quad x_1=-2,\; x_2=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((4-x^2)-(x+2)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx.$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}$$

   $$S=\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right)-\left(\frac{8}{3}-2-4\right)=\frac{9}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{9}{2}$$.