Упр.1019 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) графиками функций у = sin х, у = cos х и отрезком [0; пи/2] оси Ох.

1. Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};1\right)$$.

   Общий вид: $$y=kx+b.$$

   Подставим точки:

   $$ \begin{cases} 0=k\cdot 0+b,\\ 1=k\cdot \frac{\pi}{2}+b. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$b=0$$, тогда

   $$ 1=k\cdot \frac{\pi}{2}, \qquad k=\frac{2}{\pi}. $$

   Значит, прямая имеет вид $$y=\frac{2}{\pi}x.$$

   На отрезке $$[0;\pi]$$ площадь искомой фигуры равна

   $$ S=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi}x\,dx+\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin x\,dx. $$

   Вычислим:

   $$ S=\left.\frac{x^2}{\pi}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\left.-\cos x\right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =\frac{\pi}{4}+\left(-\cos\pi+\cos\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{4}+1. $$

2. Найдём точку пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

   $$ \sin x=\cos x \;\Rightarrow\; \tg x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}. $$

   Тогда площадь фигуры равна

   $$ S=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin x\,dx+\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx. $$

   Вычислим:

   $$ S=\left.-\cos x\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\left.\sin x\right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =2-\sqrt{2}. $$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{4}+1$$; 2) $$2-\sqrt{2}$$.