Упр.1019 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};1\right).$$

Пусть $$y=kx+b.$$ Тогда

$$\begin{cases} 0=k\cdot 0+b,\\ 1=k\cdot \frac{\pi}{2}+b. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $$b=0,$$ а из второго:

$$1=k\cdot \frac{\pi}{2}, \qquad k=\frac{2}{\pi}.$$

Значит, прямая имеет вид $$y=\frac{2}{\pi}x.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ площадь искомой фигуры равна

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{2}{\pi}x\,dx+\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left.\frac{x^2}{\pi}\right|_{0}^{\pi/2}+\left.-\cos x\right|_{\pi/2}^{\pi} =\frac{\pi}{4}+\left(-\cos\pi+\cos\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{4}+1.$$

2) Найдём точку пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

$$\sin x=\cos x \;\Rightarrow\; \tg x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}.$$

Тогда площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/4}\sin x\,dx+\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left.-\cos x\right|_{0}^{\pi/4}+\left.\sin x\right|_{\pi/4}^{\pi/2} =\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) =2-\sqrt2.$$

Ответ: 1) $$\frac{\pi}{4}+1$$; 2) $$2-\sqrt2$$.