Упр.1018 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Найдём площадь фигуры, ограниченной параболами $$y=6x^2$$ и $$y=(x-3)(x-4)$$ и осью $$Ox$$.

Точки пересечения графиков найдём из уравнения:

$$6x^2=(x-3)(x-4)$$

$$6x^2=x^2-7x+12$$

$$5x^2+7x-12=0$$

$$D=7^2+4\cdot 5\cdot 12=49+240=289$$

$$x_1=\frac{-7-17}{2\cdot 5}=-\frac{12}{5},\qquad x_2=\frac{-7+17}{2\cdot 5}=1$$

На отрезке от $$0$$ до $$1$$ сверху расположена функция $$y=6x^2$$, а на отрезке от $$1$$ до $$3$$ — функция $$y=(x-3)(x-4)=x^2-7x+12$$. Тогда

$$S=\int_0^1 6x^2\,dx+\int_1^3 (x^2-7x+12)\,dx$$

$$S=\left(2x^3\right)\Big|_0^1+\left(\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+12x\right)\Big|_1^3$$

$$S=2+\left(9-\frac{63}{2}+36\right)-\left(\frac13-\frac72+12\right)=2+\frac{21}{2}-\frac{43}{6}=\frac{20}{3}$$

2) Найдём площадь фигуры, ограниченной параболами $$y=4-x^2$$ и $$y=(x-2)^2$$ и осью $$Ox$$.

Точки пересечения графиков:

$$4-x^2=(x-2)^2$$

$$4-x^2=x^2-4x+4$$

$$2x^2-4x=0$$

$$2x(x-2)=0$$

$$x_1=0,\qquad x_2=2$$

Кроме того, $$4-x^2=0$$ при $$x=-2$$ и $$x=2$$. Поэтому площадь равна

$$S=\int_{-2}^{0}(4-x^2)\,dx+\int_0^2 (x-2)^2\,dx$$

$$S=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{0}+\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right)\Big|_0^2$$

$$S=\left(0-\left(-8+\frac{8}{3}\right)\right)+\left(\frac{8}{3}-8+8\right)=\frac{16}{3}+\frac{8}{3}=8$$

Ответ: 1) $$\frac{20}{3}$$; 2) $$8$$.