Упр.1018 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) параболами у = 4 — х2, у = (х — 2)2 и осью Ох.

1. Найдём точки пересечения графиков $$y=6x^2$$ и $$y=(x-3)(x-4).$$

   $$6x^2=(x-3)(x-4)$$
   $$6x^2=x^2-7x+12$$
   $$5x^2+7x-12=0$$

   $$D=7^2-4\cdot 5\cdot(-12)=49+240=289$$
   $$x=\frac{-7\pm 17}{10}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=-\frac{12}{5}$$

   Для искомой фигуры подходит промежуток от $$x=0$$ до $$x=3$$, поэтому площадь равна

   $$S=\int\limits_0^1 6x^2\,dx+\int\limits_1^3 \bigl(x^2-7x+12\bigr)\,dx$$

   $$ S=\left(2x^3\right)\Big|_0^1+\left(\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+12x\right)\Big|_1^3 $$
   $$ =2+\left(9-\frac{63}{2}+36\right)-\left(\frac13-\frac72+12\right) $$
   $$ =2+\frac{21}{2}-\frac{43}{6}=\frac{20}{3} $$

2. Найдём точки пересечения графиков $$y=4-x^2$$ и $$y=(x-2)^2.$$

   $$4-x^2=(x-2)^2$$
   $$4-x^2=x^2-4x+4$$
   $$2x^2-4x=0$$
   $$2x(x-2)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=2$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int\limits_{-2}^0 (4-x^2)\,dx+\int\limits_0^2 (x-2)^2\,dx$$

   $$ S=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^0+\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right)\Big|_0^2 $$
   $$ =\left(0-\left(-8+\frac{8}{3}\right)\right)+\left(\frac{8}{3}-8+8\right) =\frac{16}{3}+\frac{8}{3}=8 $$

Ответ

1) $$\frac{20}{3}$$; 2) $$8$$.