Упр.1017 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Параболой $$y=x^2+1$$ и прямой $$y=3-x$$.
2. Параболой $$y=(x+2)^2$$ и прямой $$y=x+2$$.
3. Графиком функции $$y=\sqrt{x}$$ и прямой $$y=x$$.

1) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2+1$$ и $$y=3-x$$:

$$x^2+1=3-x$$

$$x^2+x-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$

На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится прямая, поэтому

$$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((3-x)-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx$$

$$S=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{1}$$

$$S=\left(2-\frac12-\frac13\right)-\left(-4-2+\frac83\right)=\frac{9}{2}$$

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=(x+2)^2$$ и $$y=x+2$$:

$$(x+2)^2=x+2$$

$$x^2+4x+4=x+2$$

$$x^2+3x+2=0$$

$$D=9-8=1$$

$$x_1=\frac{-3-1}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-3+1}{2}=-1$$

На отрезке $$[-2;-1]$$ сверху находится прямая, поэтому

$$S=\int\limits_{-2}^{-1}\bigl((x+2)-(x+2)^2\bigr)\,dx$$

$$S=\int\limits_{-2}^{-1}(-x^2-3x-2)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-2x\right)\Bigg|_{-2}^{-1}=\frac{1}{6}$$

3) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x$$:

$$\sqrt{x}=x,\qquad x\ge 0$$

$$x=x^2$$

$$x^2-x=0$$

$$x(x-1)=0$$

$$x_1=0,\qquad x_2=1$$

На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится график $$y=\sqrt{x}$$, поэтому

$$S=\int\limits_{0}^{1}(\sqrt{x}-x)\,dx$$

$$S=\int\limits_{0}^{1}\left(x^{1/2}-x\right)\,dx$$

$$S=\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{1}{6}$$; 3) $$\frac{1}{6}$$.