Упр.1017 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) параболой у = (х + 2)2 и прямой = х + 2;
3) графиком функции y = корень х и прямой у = х.

1. Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2+1$$ и $$y=3-x$$:

   $$ x^2+1=3-x \\ x^2+x-2=0 $$

   $$ D=1+8=9,\quad x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad x_2=\frac{-1+3}{2}=1 $$

   Тогда площадь:

   $$ S=\int_{-2}^{1}\bigl((3-x)-(x^2+1)\bigr)\,dx =\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx $$

   $$ S=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\frac{9}{2} $$

2. Найдём точки пересечения графиков $$y=(x+2)^2$$ и $$y=x+2$$:

   $$ (x+2)^2=x+2 \\ x^2+4x+4=x+2 \\ x^2+3x+2=0 $$

   $$ D=9-8=1,\quad x_1=-2,\quad x_2=-1 $$

   Тогда площадь:

   $$ S=\int_{-2}^{-1}\bigl((x+2)-(x+2)^2\bigr)\,dx $$

   $$ S=\int_{-2}^{-1}(x+2-x^2-4x-4)\,dx =\int_{-2}^{-1}(-x^2-3x-2)\,dx $$

   $$ S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-2x\right)\Bigg|_{-2}^{-1} =\frac{1}{6} $$

3. Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x$$:

   $$ \sqrt{x}=x,\quad x\ge 0 $$

   $$ x=x^2 \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 $$

   $$ x_1=0,\quad x_2=1 $$

   Тогда площадь:

   $$ S=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x)\,dx $$

   $$ S=\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{1} =\frac{2}{3}-\frac{1}{2} =\frac{1}{6} $$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{1}{6}$$; 3) $$\frac{1}{6}$$.