Упр.1016 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

• Параболой $$y=x^2+3x$$ и осью $$Ox$$.
• Параболой $$y=x^2-4x+3$$ и осью $$Ox$$.

1) Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2+3x$$ с осью $$Ox$$:

$$x^2+3x=0$$

$$x(x+3)=0$$

$$x_1=-3,\quad x_2=0.$$

На отрезке $$[-3;0]$$ функция не положительна, поэтому площадь равна

$$S=\int_{-3}^{0}-(x^2+3x)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-3}^{0}$$

$$S=0-\left(\frac{27}{3}-\frac{27}{2}\right)=\frac{9}{2}=4{,}5.$$

2) Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2-4x+3$$ с осью $$Ox$$:

$$x^2-4x+3=0$$

$$D=16-12=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2},\quad x_1=1,\quad x_2=3.$$

На отрезке $$[1;3]$$ функция не положительна, значит

$$S=\int_{1}^{3}-(x^2-4x+3)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}$$

$$S=\left(-9+18-9\right)-\left(-\frac13+2-3\right)=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.$$

Ответ: 1) $$4{,}5$$; 2) $$1\frac{1}{3}$$.