Упр.1015 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Графиками функций $$y=\sqrt{x}$$, $$y=(x-2)^2$$ и осью $$Ox$$.
- Графиками функций $$y=x^3$$, $$y=2x-x^2$$ и осью $$Ox$$.
1) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=(x-2)^2$$:
$$\sqrt{x}=(x-2)^2.$$
Подходит значение $$x=1$$, так как
$$\sqrt{1}=(1-2)^2=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится график $$y=\sqrt{x}$$, а на отрезке $$[1;2]$$ — график $$y=(x-2)^2$$. Тогда площадь фигуры равна
$$S=\int\limits_0^1 \sqrt{x}\,dx+\int\limits_1^2 (x-2)^2\,dx.$$
Вычислим:
$$S=\left.\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right|_0^1+\left.\frac{(x-2)^3}{3}\right|_1^2 =\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1.$$
2) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^3$$ и $$y=2x-x^2$$:
$$x^3=2x-x^2,$$
$$x^3+x^2-2x=0,$$
$$x(x^2+x-2)=0,$$
$$x(x+2)(x-1)=0.$$
Отсюда $$x=-2,\;0,\;1.$$ Для искомой фигуры берём промежуток от $$0$$ до $$1$$, а затем от $$1$$ до $$2$$, где фигура ограничена графиками и осью $$Ox$$. Тогда
$$S=\int\limits_0^1 x^3\,dx+\int\limits_1^2 (2x-x^2)\,dx.$$
Вычислим:
$$S=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^1+\left.(x^2-\frac{x^3}{3})\right|_1^2 =\frac14+\left(4-\frac83-1+\frac13\right) =\frac14+\frac{2}{3} =\frac{11}{12}.$$
Ответ
1) $$1$$; 2) $$\frac{11}{12}$$.
