Упр.1014 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1014. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

1. параболой $$y=(x+1)^2$$, прямой $$y=1-x$$ и осью $$Ox$$;
2. параболой $$y=4-x^2$$, прямой $$y=x+2$$ и осью $$Ox$$;
3. параболой $$y=4x-x^2$$, прямой $$y=4-x$$ и осью $$Ox$$;
4. параболой $$y=3x^2$$, прямой $$y=1{,}5x+4{,}5$$ и осью $$Ox$$.

1) Найдём точки пересечения параболы $$y=(x+1)^2$$ и прямой $$y=1-x$$:

$$(x+1)^2=1-x \\\\ x^2+2x+1=1-x \\\\ x^2+3x=0 \\\\ x(x+3)=0$$

Отсюда $$x=-3$$ и $$x=0$$. С осью $$Ox$$ фигура замыкается на отрезке $$[-1;0]$$ для параболы и на отрезке $$[-1;1]$$ для прямой, поэтому площадь равна

$$S=\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx+\int_{0}^{1}(1-x)\,dx$$

$$S=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\Bigg|_{-1}^{0}+\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{1} =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$$

2) Найдём точки пересечения $$y=4-x^2$$ и $$y=x+2$$:

$$4-x^2=x+2 \\\\ x^2+x-2=0 \\\\ (x+2)(x-1)=0$$

Значит, $$x=-2$$ и $$x=1$$. Площадь фигуры:

$$S=\int_{-2}^{1}(x+2)\,dx+\int_{1}^{2}(4-x^2)\,dx$$

$$S=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}+\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\frac{9}{2}+\frac{5}{3}=\frac{37}{6}=6\frac{1}{6}$$

3) Найдём точки пересечения $$y=4x-x^2$$ и $$y=4-x$$:

$$4x-x^2=4-x \\\\ x^2-5x+4=0 \\\\ (x-1)(x-4)=0$$

Значит, $$x=1$$ и $$x=4$$. Тогда

$$S=\int_{0}^{1}(4x-x^2)\,dx+\int_{1}^{4}(4-x)\,dx$$

$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}+\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{1}^{4} =\frac{5}{3}+\frac{31}{6}=\frac{37}{6}=6\frac{1}{6}$$

4) Найдём точки пересечения $$y=3x^2$$ и $$y=1{,}5x+4{,}5$$:

$$3x^2=1{,}5x+4{,}5 \\\\ 6x^2-3x-9=0 \\\\ 2x^2-x-3=0 \\\\ (2x-3)(x+1)=0$$

Отсюда $$x=-1$$ и $$x=\frac{3}{2}$$. Фигура ограничена также осью $$Ox$$, поэтому

$$S=\int_{-3}^{-1}(1{,}5x+4{,}5)\,dx+\int_{-1}^{0}3x^2\,dx$$

$$S=\left(\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{2}x\right)\Bigg|_{-3}^{-1}+x^3\Bigg|_{-1}^{0} =3+1=4$$

Ответ

1) $$\frac{5}{6}$$; 2) $$6\frac{1}{6}$$; 3) $$6\frac{1}{6}$$; 4) $$4$$.