Упр.1014 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1014 1) Параболой у = (х + 1)2, прямой у = 1-х и осью Ох;
2) параболой у = 4-х2, прямой у = х + 2 и осью Ох;
3) параболой у = 4х — х2, прямой у = 4 — х и осью Ох;
4) параболой y = Зх2, прямой у=1,5х + 4,5 и осью Ох.

Подробный ответ

$$y=(x+1)^2,\quad y=1-x.$$
Найдём точки пересечения:
$$ (x+1)^2=1-x \\ x^2+2x+1=1-x \\ x^2+3x=0 \\ x(x+3)=0 $$
$$x=-3,\; x=0.$$
На отрезке $$[-1;0]$$ сверху находится парабола, а на отрезке $$[0;1]$$ — прямая, поэтому
$$ S=\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx+\int_{0}^{1}(1-x)\,dx $$
$$ S=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\Bigg|_{-1}^{0}+\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{1} =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}. $$
$$y=4-x^2,\quad y=x+2.$$
Точки пересечения:
$$ 4-x^2=x+2 \\ x^2+x-2=0 \\ (x+2)(x-1)=0 $$
$$x=-2,\; x=1.$$
Искомая площадь:
$$ S=\int_{-2}^{1}(x+2)\,dx+\int_{1}^{2}(4-x^2)\,dx $$
$$ S=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}+\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\frac{9}{2}+\frac{5}{3}=\frac{37}{6}=6\frac{1}{6}. $$
$$y=4x-x^2,\quad y=4-x.$$
Точки пересечения:
$$ 4x-x^2=4-x \\ x^2-5x+4=0 \\ (x-1)(x-4)=0 $$
$$x=1,\; x=4.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{0}^{1}(4x-x^2)\,dx+\int_{1}^{4}(4-x)\,dx $$
$$ S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}+\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{1}^{4} =\frac{5}{3}+\frac{13}{2}=\frac{37}{6}=6\frac{1}{6}. $$
$$y=3x^2,\quad y=1{,}5x+4{,}5.$$
Точки пересечения:
$$ 3x^2=1{,}5x+4{,}5 \\ 2x^2-x-3=0 \\ (2x-3)(x+1)=0 $$
$$x=-1,\; x=\frac{3}{2}.$$
Искомая фигура ограничена осью $$Ox$$, параболой и прямой, поэтому
$$ S=\int_{-3}^{-1}(1{,}5x+4{,}5)\,dx+\int_{-1}^{0}3x^2\,dx $$
$$ S=\left(\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{2}x\right)\Bigg|_{-3}^{-1}+x^3\Bigg|_{-1}^{0} =3+1=4. $$