Упр.1012 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все числа $$b>1$$, для которых выполняется неравенство $$\int_1^b (b-4x)\,dx\ge 6-5b$$.

Вычислим определённый интеграл:

$$\int_1^b (b-4x)\,dx=\left(bx-2x^2\right)\Big|_1^b.$$

Подставим пределы интегрирования:

$$\left(bx-2x^2\right)\Big|_1^b=(b\cdot b-2b^2)-(b\cdot 1-2\cdot 1^2)=b^2-2b^2-b+2=-b^2-b+2.$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$-b^2-b+2\ge 6-5b.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$-b^2+4b-4\ge 0,$$

$$b^2-4b+4\le 0,$$

$$\left(b-2\right)^2\le 0.$$

Квадрат числа неотрицателен, значит это возможно только при

$$b-2=0,$$

то есть

$$b=2.$$

Ответ

$$b=2.$$