Упр.1012 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1012 Найти все числа b > 1, для которых выполняется равенство интеграл (1;b) (b-4x)dx > =6-5b.

Вычислим определённый интеграл:

$$\int_1^b (b-4x)\,dx = \left(bx-2x^2\right)\Big|_1^b.$$

Подставим пределы интегрирования:

$$\left(bx-2x^2\right)\Big|_1^b = \left(b\cdot b-2b^2\right)-\left(b\cdot 1-2\cdot 1^2\right)=b^2-2b^2-b+2=-b^2-b+2.$$

Теперь решим неравенство:

$$-b^2-b+2 \ge 6-5b.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$-b^2+4b-4 \ge 0.$$

Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:

$$b^2-4b+4 \le 0.$$

Получаем:

$$\left(b-2\right)^2 \le 0.$$

Квадрат числа неотрицателен, значит это возможно только при

$$b-2=0,$$

то есть

$$b=2.$$

Условие $b>1$ выполняется.

Ответ

$$b=2$$