Упр.1010 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) интеграл (0;1) 4dx/(3x+2);
3) интеграл (1;пи/2) sin(2x+пи/3)dx.

1. $$\int\limits_{1}^{2}\frac{3}{2x-1}\,dx$$

   Положим $$u=2x-1$$, тогда $$du=2\,dx$$, $$dx=\frac{du}{2}$$.

   Тогда

   $$\int\limits_{1}^{2}\frac{3}{2x-1}\,dx=\frac{3}{2}\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x-\frac12}=\frac{3}{2}\ln|2x-1|\Big|_{1}^{2}$$

   $$=\frac{3}{2}\bigl(\ln 3-\ln 1\bigr)=\frac{3}{2}\ln 3.$$

2. $$\int\limits_{0}^{1}\frac{4}{3x+2}\,dx$$

   Положим $$u=3x+2$$, тогда $$du=3\,dx$$, $$dx=\frac{du}{3}$$.

   Тогда

   $$\int\limits_{0}^{1}\frac{4}{3x+2}\,dx=\frac{4}{3}\ln|3x+2|\Big|_{0}^{1}$$

   $$=\frac{4}{3}\bigl(\ln 5-\ln 2\bigr)=\frac{4}{3}\ln\frac{5}{2}.$$

3. $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx=-\frac12\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+C.$$

   Тогда

   $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx=-\frac12\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

   $$=-\frac12\left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\frac{\pi}{3}\right)$$

   $$=-\frac12\left(-\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

Ответ

$$\frac{3}{2}\ln 3;\ \frac{4}{3}\ln\frac{5}{2};\ \frac12.$$