Упр.1010 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Интеграл $$\int_{1}^{2}\frac{3\,dx}{2x-1}$$
2. Интеграл $$\int_{0}^{1}\frac{4\,dx}{3x+2}$$
3. Интеграл $$\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx$$

1) $$\int_{1}^{2}\frac{3}{2x-1}\,dx$$

Положим $$u=2x-1,$$ тогда $$du=2\,dx,$$ и

$$\int \frac{3}{2x-1}\,dx=\frac{3}{2}\ln|2x-1|+C.$$

Тогда

$$\int_{1}^{2}\frac{3}{2x-1}\,dx=\frac{3}{2}\ln|2x-1|\Big|_{1}^{2}=\frac{3}{2}\bigl(\ln 3-\ln 1\bigr)=\frac{3}{2}\ln 3.$$

Ответ: $$\frac{3}{2}\ln 3$$

2) $$\int_{0}^{1}\frac{4}{3x+2}\,dx$$

Положим $$u=3x+2,$$ тогда $$du=3\,dx,$$ и

$$\int \frac{4}{3x+2}\,dx=\frac{4}{3}\ln|3x+2|+C.$$

Следовательно,

$$\int_{0}^{1}\frac{4}{3x+2}\,dx=\frac{4}{3}\ln|3x+2|\Big|_{0}^{1}=\frac{4}{3}\bigl(\ln 5-\ln 2\bigr)=\frac{4}{3}\ln\frac{5}{2}.$$

Ответ: $$\frac{4}{3}\ln\frac{5}{2}$$

3) $$\int_{0}^{\pi/2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx$$

Найдём первообразную:

$$\int \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx=-\frac{1}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+C.$$

Тогда

$$\int_{0}^{\pi/2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx=-\frac{1}{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\Big|_{0}^{\pi/2}$$

$$=-\frac{1}{2}\left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\frac{\pi}{3}\right)$$

$$=-\frac{1}{2}\left(\cos\frac{4\pi}{3}-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$\frac{1}{2}$$