Упр.1008 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) интеграл (-1;0) (x+1)(x2-2)dx;
3) интеграл (1;2) (x+1/x)2dx;
4) интеграл (-2;-1) 4/x2*(1-2/x)dx.

1. $$\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1)\,dx$$

   Раскроем скобки:
   $$x(x+3)(2x-1)=x(2x^2+5x-3)=2x^3+5x^2-3x.$$

   Тогда
   $$ \int_{-2}^{1} (2x^3+5x^2-3x)\,dx = \left(\frac{x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-2}^{1}. $$

   $$ \left(\frac{1}{2}+\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right) — \left(\frac{16}{2}-\frac{40}{3}-\frac{12}{2}\right) =12. $$

2. $$\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2)\,dx$$

   Раскроем скобки:
   $$ (x+1)(x^2-2)=x^3+x^2-2x-2.$$

   Тогда
   $$ \int_{-1}^{0} (x^3+x^2-2x-2)\,dx = \left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2-2x\right)\Bigg|_{-1}^{0}. $$

   $$ 0-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-1+2\right) =-\frac{11}{12}. $$

3. $$\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\,dx$$

   Преобразуем подынтегральное выражение:
   $$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}. $$

   Тогда
   $$ \int_{1}^{2}\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}+2x-\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{1}^{2}. $$

   $$ \left(\frac{8}{3}+4-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}+2-1\right) =\frac{29}{6}-\frac{4}{6} =\frac{25}{6} =4\frac{1}{6}. $$

4. $$\int_{-2}^{-1}\frac{4}{x^2}\left(1-\frac{2}{x}\right)\,dx$$

   Преобразуем:
   $$ \frac{4}{x^2}\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{4}{x^2}-\frac{8}{x^3}. $$

   Тогда
   $$ \int_{-2}^{-1}\left(\frac{4}{x^2}-\frac{8}{x^3}\right)\,dx = \left(-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right)\Bigg|_{-2}^{-1}. $$

   $$ \left(4+4\right)-\left(2+1\right)=5. $$

Ответ

1) $$12$$; 2) $$-\frac{11}{12}$$; 3) $$\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}$$; 4) $$5$$.