Упр.1004 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1004. Вычислить интегралы:
      1) $$\int\limits_0^1 x\,dx$$;
      2) $$\int\limits_0^3 x^2\,dx$$;
      3) $$\int\limits_{-1}^2 3x^2\,dx$$;
      4) $$\int\limits_{-2}^3 2x\,dx$$;
      5) $$\int\limits_2^3 \frac{1}{x^2}\,dx$$;
      6) $$\int\limits_1^2 \frac{1}{x^3}\,dx$$;
      7) $$\int\limits_1^4 \sqrt{x}\,dx$$;
      8) $$\int\limits_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$.

Вычислим по формуле Ньютона–Лейбница:

1. $$\int\limits_0^1 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.$$

2. $$\int\limits_0^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3=\frac{27}{3}-0=9.$$

3. $$\int\limits_{-1}^2 3x^2\,dx=\left.x^3\right|_{-1}^2=2^3-(-1)^3=8+1=9.$$

4. $$\int\limits_{-2}^3 2x\,dx=\left.x^2\right|_{-2}^3=3^2-(-2)^2=9-4=5.$$

5. $$\int\limits_2^3 \frac{1}{x^2}\,dx=\int\limits_2^3 x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_2^3=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.$$

6. $$\int\limits_1^2 \frac{1}{x^3}\,dx=\int\limits_1^2 x^{-3}\,dx=\left.-\frac{1}{2x^2}\right|_1^2=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}.$$

7. $$\int\limits_1^4 \sqrt{x}\,dx=\int\limits_1^4 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_1^4=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}.$$

8. $$\int\limits_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int\limits_4^9 x^{-1/2}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_4^9=2(3-2)=2.$$

Ответ: 1) $$\frac{1}{2}$$; 2) $$9$$; 3) $$9$$; 4) $$5$$; 5) $$\frac{1}{6}$$; 6) $$\frac{3}{8}$$; 7) $$4\frac{2}{3}$$; 8) $$2$$.