Упр.1003 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой $$x=b$$, осью $$Ox$$ и графиком функции $$y=f(x)$$:

1. $$b=2$$, $$f(x)=5x-x^2$$, $$2\leq x\leq 5$$;
2. $$b=3$$, $$f(x)=x^2+2x$$;
3. $$b=1$$, $$f(x)=e^{x-1}$$;
4. $$b=2$$, $$f(x)=1-\frac{1}{x}$$.

1) $$f(x)=5x-x^2,\quad b=2$$

Найдём точки пересечения графика с осью $$Ox$$:

$$5x-x^2=0$$

$$x(5-x)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=5$$

На отрезке $$[2;5]$$ функция неотрицательна, поэтому площадь равна

$$S=\int\limits_2^5 (5x-x^2)\,dx$$

$$S=\left(\frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_2^5$$

$$S=\left(\frac{125}{2}-\frac{125}{3}\right)-\left(10-\frac{8}{3}\right)=\frac{27}{2}=13{,}5$$

2) $$f(x)=x^2+2x,\quad b=3$$

Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:

$$x^2+2x=0$$

$$x(x+2)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=-2$$

На отрезке $$[0;3]$$ функция неотрицательна, значит

$$S=\int\limits_0^3 (x^2+2x)\,dx$$

$$S=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_0^3=9+9=18$$

3) $$f(x)=e^x-1,\quad b=1$$

Найдём точку пересечения с осью $$Ox$$:

$$e^x-1=0$$

$$e^x=1=e^0,\quad x=0$$

На отрезке $$[0;1]$$ функция неотрицательна, поэтому

$$S=\int\limits_0^1 (e^x-1)\,dx$$

$$S=\left(e^x-x\right)\Bigg|_0^1=(e-1)-(1-0)=e-2$$

4) $$f(x)=1-\frac{1}{x},\quad b=2$$

Найдём точку пересечения с осью $$Ox$$:

$$1-\frac{1}{x}=0$$

$$x=1$$

На отрезке $$[1;2]$$ функция неотрицательна, значит

$$S=\int\limits_1^2 \left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx$$

$$S=\left(x-\ln x\right)\Bigg|_1^2=(2-\ln 2)-(1-0)=1-\ln 2$$

Ответ: 1) $$13{,}5$$; 2) $$18$$; 3) $$e-2$$; 4) $$1-\ln 2$$.