Упр.1002 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми $$x=a$$, $$x=b$$, осью $$Ox$$ и графиком функции $$y=f(x)$$:

1. $$a=1$$, $$b=8$$, $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$;
2. $$a=4$$, $$b=9$$, $$f(x)=\sqrt{x}$$.

1) Найдём площадь фигуры, ограниченной прямыми $$x=1$$, $$x=8$$, осью $$Ox$$ и графиком функции $$y=\sqrt[3]{x}.$$

Так как $$\sqrt[3]{x}=x^{1/3},$$ то

$$S=\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}\,dx=\int_{1}^{8}x^{1/3}\,dx.$$

Первообразная:

$$\int x^{1/3}\,dx=\frac{3}{4}x^{4/3}+C.$$

Тогда

$$S=\left.\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_{1}^{8} =\frac{3}{4}\left(8^{4/3}-1^{4/3}\right) =\frac{3}{4}(16-1) =\frac{45}{4}=11\frac{1}{4}.$$

Ответ: $$11\frac{1}{4}.$$

2) Найдём площадь фигуры, ограниченной прямыми $$x=4$$, $$x=9$$, осью $$Ox$$ и графиком функции $$y=\sqrt{x}.$$

Имеем

$$S=\int_{4}^{9}\sqrt{x}\,dx=\int_{4}^{9}x^{1/2}\,dx.$$

Первообразная:

$$\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.$$

Тогда

$$S=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{4}^{9} =\frac{2}{3}\left(9^{3/2}-4^{3/2}\right) =\frac{2}{3}(27-8) =\frac{38}{3}=12\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$12\frac{2}{3}.$$