Контрольная работа 1 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Решите уравнение (2x+6)/(x^2+x)-(x-3)/(x^2+3x+2)=0.
3. Решите неравенство:
а) (x+1)(x-1)/(x+4) < 0;
б) (x^2-6x+9)/(x^2-4x-5)?0.
4*. а) Упростите выражение (1/(n^2+n)-1/(n^2+3n+2):(n-3)/(n^2+2n).
б) Найдите значение полученного выражения при n=0.
5*. Докажите справедливость неравенства:
а) x^2+y^2+4x-6y+13?0;
б) x^4+10x^2-4x+14 > 0;
в) x^2+4 > v(x^4+8x^2+15).
6*. Решите уравнение x^4-4x^3-2x^2+12x+9=0.
7*. К трехзначному числу приписали цифру 2 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 4113. Найдите это трехзначное число.
$$\left(\frac{-4a}{a^2-b^2}+\frac{2}{a+b}-\frac{3}{b-a}\right):\frac{2}{a-b}$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ и $$\frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b},$$ получаем:
$$ \frac{-4a}{(a-b)(a+b)}+\frac{2(a-b)}{(a-b)(a+b)}+\frac{3(a+b)}{(a-b)(a+b)} $$
$$ =\frac{-4a+2a-2b+3a+3b}{(a-b)(a+b)} =\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} $$
Тогда
$$ \frac{a+b}{(a-b)(a+b)}:\frac{2}{a-b} =\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}\cdot\frac{a-b}{2} =\frac12. $$$$ \frac{2x+6}{x^2+x}-\frac{x-3}{x^2+3x+2}=0 $$
Разложим знаменатели на множители:
$$ x^2+x=x(x+1), \qquad x^2+3x+2=(x+1)(x+2). $$Тогда
$$ \frac{2x+6}{x(x+1)}-\frac{x-3}{(x+1)(x+2)}=0. $$Умножим на $$x(x+1)(x+2)$$:
$$ (2x+6)(x+2)-x(x-3)=0. $$$$ 2x^2+10x+12-x^2+3x=0 $$
$$ x^2+13x+12=0 $$
$$ (x+12)(x+1)=0. $$Отсюда $$x=-12$$ или $$x=-1$$, но $$x=-1$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит,
$$x=-12.$$а)
$$ \frac{(x+1)(x-1)}{x+4}<0 $$Критические точки: $$x=-4,\,-1,\,1.$$ По знакам получаем:
$$ x\in(-\infty;-4)\cup(-1;1). $$б)
$$ \frac{x^2-6x+9}{x^2-4x-5}\ge 0 $$$$ \frac{(x-3)^2}{(x-5)(x+1)}\ge 0. $$
Числитель неотрицателен и равен нулю при $$x=3$$, а знаменатель не должен обращаться в нуль: $$x\ne -1,\; x\ne 5.$$ Тогда
$$ x\in(-\infty;-1)\cup\{3\}\cup(5;+\infty). $$а)
$$ \left(\frac{1}{n^2+n}-\frac{1}{n^2+3n+2}\right):\frac{n-3}{n^2+2n} $$Разложим знаменатели:
$$ n^2+n=n(n+1),\quad n^2+3n+2=(n+1)(n+2),\quad n^2+2n=n(n+2). $$Тогда
$$ \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} =\frac{n+2-n}{n(n+1)(n+2)} =\frac{2}{n(n+1)(n+2)}. $$Деление на дробь заменяем умножением на обратную:
$$ \frac{2}{n(n+1)(n+2)}\cdot\frac{n(n+2)}{n-3} =\frac{2}{(n+1)(n-3)}. $$б) При $$n=0$$:
$$ A(0)=\frac{2}{(0+1)(0-3)}=-\frac23. $$а)
$$ x^2+y^2+4x-6y+13\ge 0 $$$$ x^2+4x+4+y^2-6y+9\ge 0 $$
$$ (x+2)^2+(y-3)^2\ge 0. $$
Это верно при любых $$x$$ и $$y$$.б)
$$ x^4+10x^2-4x+14>0 $$$$ x^4+6x^2+4x^2-4x+9+4+1>0 $$
$$ x^4+6x^2+9+4x^2-4x+1+4>0 $$
$$ (x^2+3)^2+(2x-1)^2+4>0. $$
Следовательно, неравенство верно при любых $$x$$.в)
$$ x^2+4>\sqrt{x^4+8x^2+15} $$Так как
$$ x^4+8x^2+16>x^4+8x^2+15, $$
то
$$ (x^2+4)^2>x^4+8x^2+15. $$
Поскольку $$x^2+4>0$$, получаем
$$ x^2+4>\sqrt{x^4+8x^2+15}. $$$$ x^4-4x^3-2x^2+12x+9=0 $$
Группируем:
$$ x^4+x^3-5x^3-5x^2+3x^2+3x+9x+9=0 $$
$$ x^3(x+1)-5x^2(x+1)+3x(x+1)+9(x+1)=0 $$
$$ (x+1)(x^3-5x^2+3x+9)=0. $$Далее:
$$ x^3-5x^2+3x+9=x^2(x+1)-6x^2-6x+9x+9 $$
$$ =(x+1)(x^2-6x+9)=(x+1)(x-3)^2. $$Тогда
$$ (x+1)^2(x-3)^2=0, $$
откуда
$$ x=-1 \text{ или } x=3. $$Пусть $$x$$ — данное трёхзначное число. Тогда числа, полученные при приписывании цифры 2 справа и слева, равны соответственно $$10x+2$$ и $$2000+x$$.
По условию:
$$ (10x+2)-(2000+x)=4113 $$
$$ 9x-1998=4113 $$
$$ 9x=6111 $$
$$ x=679. $$
Ответ
1) $$\frac12$$; 2) $$-12$$; 3) а) $$(-\infty;-4)\cup(-1;1)$$, б) $$(-\infty;-1)\cup\{3\}\cup(5;+\infty)$$; 4) а) $$\frac{2}{(n+1)(n-3)}$$, б) $$-\frac23$$; 5) неравенства верны при любых допустимых значениях переменных; 6) $$-1,\ 3$$; 7) $$679$$.
