Контрольная работа 7 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) sin(x)=1; б) cos(x)=1/2; в) tg(x)=-v3/3.
2. а) 2cos^2(x)-cos(x)-1=0; б) 3sin^2(x)-2cos(x)+2=0.
3. а) v3sin(x)+cos(x)=0;
б) sin^2(x)-2v3sin(x)cos(x)+3cos^2(x)=0.
4*. а) cos(x)=-0,7; б) sin(x)=1/4; в) tg(x)=5.
5*. а) sin(x)-cos(x)=-1; б) cos(4x)-sin^2(x)=1.
6*. Решите неравенство:
а) sin(x) < -0,5; б) cos(x) > -0,5; в) tg(x)?2.
7*. Из города А в город В вышел пешеход. Через некоторое время после выхода пешехода из города В в город А выехал велосипедист. Через час после выхода пешехода вслед за ним выехал мотоциклист. Все участники двигались равномерно и встретились в одной точке маршрута. Мотоциклист прибыл в город В через 3 ч после выезда из него велосипедиста, но за 2 ч до прибытия пешехода в город В. Через сколько часов после выезда мотоциклиста велосипедист прибыл в город А?
а) $$\sin x=1$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos x=\frac12$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg x=-\frac{\sqrt3}{3}$$
$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а) $$2\cos^2 x-\cos x-1=0$$
Положим $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-y-1=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$
Получаем $$y_1=1,\; y_2=-\frac12.$$
Если $$\cos x=1,$$ то $$x=2\pi n.$$
Если $$\cos x=-\frac12,$$ то $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
б) $$3\sin^2 x-2\cos x+2=0$$
Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$3(1-\cos^2 x)-2\cos x+2=0,$$
$$3\cos^2 x+2\cos x-5=0.$$
Положим $$y=\cos x$$. Тогда
$$3y^2+2y-5=0.$$
$$D=4+60=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{6}.$$
Получаем $$y_1=1,\; y_2=-\frac53.$$
Так как $$|\cos x|\le 1,$$ подходит только $$\cos x=1.$$
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sqrt3\sin x+\cos x=0$$
Делим на $$\cos x$$:
$$\sqrt3\tg x+1=0,$$
$$\tg x=-\frac1{\sqrt3}.$$
$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin^2 x-2\sqrt3\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-2\sqrt3\,y+3=0,$$
$$\left(y-\sqrt3\right)^2=0,$$
$$y=\sqrt3.$$
Следовательно,
$$\tg x=\sqrt3,\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а) $$\cos x=-0{,}7$$
$$x=\pm \arccos(-0{,}7)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin x=\frac14$$
$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg x=5$$
$$x=\arctg 5+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin x-\cos x=-1$$
Умножим на $$\sqrt2$$:
$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=-1,$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Тогда
$$x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$
Отсюда
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos 4x-\sin^2 x=1$$
$$1-\cos 4x+\sin^2 x=0,$$
$$2\sin^2 2x+\sin^2 x=0,$$
$$4\sin^2 x\cos^2 x+\sin^2 x=0,$$
$$\sin^2 x\,(4\cos^2 x+1)=0.$$
Так как $$4\cos^2 x+1>0,$$ то
$$\sin x=0,$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin x<-0{,}5=-\frac12$$
$$\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos x>-0{,}5=-\frac12$$
$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg x\le 2$$
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Обозначим через $$x$$ км расстояние от города А до места встречи, а через $$y$$ км — расстояние от места встречи до города В.
Тогда для пешехода и велосипедиста:
$$\frac{x}{v_1}=\frac{y}{v_2},$$
а по условию мотоциклист прибыл в город В через 3 ч после выезда велосипедиста и за 2 ч до прибытия пешехода в город В. Значит, время движения мотоциклиста до города В равно $$3$$ ч, а пешехода — $$5$$ ч.
Из равномерного движения и условия встречи получаем отношение скоростей, а значит, и отношение пройденных расстояний:
$$\frac{y}{x}=\frac12.$$
Тогда время движения мотоциклиста от места встречи до города В в 3 раза больше времени, чем от выезда велосипедиста до прибытия мотоциклиста в город В, то есть
$$\Delta t=\frac12\cdot 3=1{,}5.$$
Следовательно, велосипедист прибыл в город А через $$1{,}5$$ ч после выезда мотоциклиста.
Ответ
1) а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$.
2) а) $$x=2\pi n,\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; б) $$x=2\pi n$$.
3) а) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
4) а) $$x=\pm \arccos(-0{,}7)+2\pi n$$; б) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n$$; в) $$x=\arctg 5+\pi n$$.
5) а) $$x=2\pi n,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$x=\pi n$$.
6) а) $$\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right)$$; б) $$\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right)$$; в) $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\arctg 2+\pi n\right]$$.
7) $$1{,}5$$ ч.
