Контрольная работа 6 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(?+?)-2sin(?)cos(?), если ?-?=?/2;
б) sin^2(?)-cos(?/2+?)sin(?-?)/(tg(?-?)ctg(3?/2+?)), ???n/2, n?Z.
2. Вычислите (cos(32°)+cos(28°))^2+(sin(32°)-sin(28°))^2.
3. Известно, что sin(?)=-12/13, 3?/2 < ? < 2?. Вычислите: а) cos(?); б) sin(2?); в) cos(2?). 4. Постройте график функции y=(cos(4x)cos(3x)+sin(4x)sin(3x))/(sin(4x)cos(3x)-sin(3x)cos(4x)). 5*. Вычислите 2sin(34°)sin(26°)-sin(82°). 6*. Докажите справедливость равенства cos(?/9)cos(2?/9)cos(4?/9)=1/8. 7*. Велосипедист и пешеход одновременно отправились навстречу друг другу из городов А и В. После встречи велосипедист прибыл в город В через 1 ч, а пешеход пришел в город А через 4 ч. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

1. а) $$\sin(\alpha+\beta)-2\sin\beta\cos\alpha,$$ если $$\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}.$$

   Раскроем скобки по формуле суммы:
   $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$
   Тогда
   $$ \sin(\alpha+\beta)-2\sin\beta\cos\alpha =\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha =\sin(\alpha-\beta). $$
   Так как $$\alpha-\beta=\frac{\pi}{2},$$ то
   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   б) $$\sin^2\alpha-\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin(\pi-\alpha)}{\tg(\pi-\alpha)\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}.$$

   Используем тождества:
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,\quad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,$$
   $$\tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha,\quad \ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\tg\alpha.$$
   Тогда
   $$ \sin^2\alpha-\frac{(-\sin\alpha)\sin\alpha}{(-\tg\alpha)(-\tg\alpha)} =\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha}. $$
   Так как $$\frac{1}{\tg^2\alpha}=\ctg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha},$$ получаем
   $$ \sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha} =\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. $$

2. $$ (\cos 32^\circ+\cos 28^\circ)^2+(\sin 32^\circ-\sin 28^\circ)^2 $$
   $$ =\cos^2 32^\circ+\cos^2 28^\circ+2\cos 32^\circ\cos 28^\circ +\sin^2 32^\circ+\sin^2 28^\circ-2\sin 32^\circ\sin 28^\circ $$
   $$ =2+2(\cos 32^\circ\cos 28^\circ-\sin 32^\circ\sin 28^\circ) =2+2\cos(32^\circ+28^\circ) $$
   $$ =2+2\cos 60^\circ=2+2\cdot\frac12=3. $$

3. Дано: $$\sin\alpha=-\frac{12}{13},\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$ Значит, $$\cos\alpha>0.$$

   а)
   $$ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{144}{169}} =\sqrt{\frac{25}{169}} =\frac{5}{13}. $$

   б)
   $$ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot\frac{5}{13} =-\frac{120}{169}. $$

   в)
   $$ \cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha =1-2\cdot\frac{144}{169} =1-\frac{288}{169} =-\frac{119}{169}. $$

4. $$ y=\frac{\cos 4x\cos 3x+\sin 4x\sin 3x}{\sin 4x\cos 3x-\sin 3x\cos 4x} =\frac{\cos(4x-3x)}{\sin(4x-3x)} =\frac{\cos x}{\sin x} =\ctg x. $$

   Следовательно, график данной функции совпадает с графиком $$y=\ctg x.$$
   Область определения:
   $$x\ne \pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

5. $$ 2\sin 34^\circ\sin 26^\circ-\sin 82^\circ =2\cdot\frac12(\cos 8^\circ-\cos 60^\circ)-\sin 82^\circ $$
   $$ =\cos 8^\circ-\frac12-\cos 8^\circ=-\frac12. $$

6. $$ \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\frac18. $$

   Используем формулу
   $$2\sin a\cos a=\sin 2a.$$
   Тогда
   $$ 2\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}=\sin\frac{4\pi}{9}, $$
   $$ 2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\sin\frac{8\pi}{9}. $$
   Перемножим:
   $$ 8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} =\sin\frac{8\pi}{9}. $$
   Но
   $$\sin\frac{8\pi}{9}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{9}\right)=\sin\frac{\pi}{9}.$$
   Значит,
   $$ 8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} =\sin\frac{\pi}{9}, $$
   откуда
   $$\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\frac18.$$

7. Пусть $$x$$ — скорость пешехода, тогда $$y$$ — скорость велосипедиста.
   После встречи велосипедист затратил 1 ч на путь до города $$B$$, а пешеход — 4 ч на путь до города $$A$$.
   Значит, пройденные после встречи расстояния относятся как скорости:
   $$ y: x = 4:1? $$

   Обозначим время до встречи через $$t$$. Тогда до встречи велосипедист и пешеход прошли одинаковое расстояние:
   $$ yt=4x. $$
   После встречи велосипедист прошёл ещё $$y\cdot 1=y$$, а пешеход — $$x\cdot 4=4x$$.
   Эти расстояния равны тому же расстоянию от места встречи до соответствующих городов, поэтому
   $$ y=4x. $$
   Следовательно,
   $$\frac{y}{x}=4.$$

Ответ

1) а) $$1$$; б) $$1$$;
2) $$3$$;
3) а) $$\frac{5}{13}$$; б) $$-\frac{120}{169}$$; в) $$-\frac{119}{169}$$;
4) $$y=\ctg x$$;
5) $$-\frac12$$;
6) $$\frac18$$;
7) в $$4$$ раза.