Самостоятельная работа 9 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Из восьми членов организации нужно выбрать председателя, казначея и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
3. Сколькими способами из 20 книг можно выбрать 16 книг?
4. В магазине имеется 5 различных авторучек и 6 различных блокнотов. Сколькими способами можно выбрать для подарков 2 авторучки и 3 блокнота?
5. Вычислите: а) P(8); б) A(9; 4); в) C(11; 8).
6. Докажите, что для любых натуральных чисел k и n (1?k?n) справедливо равенство k·C(n; k)=n·C(n-1; k-1).

1. Семизначное число составляется из цифр $$1,2,3,4,5,6,7$$ без повторений, значит число таких перестановок равно
   $$P_7=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040.$$
2. Нужно выбрать трёх разных людей на три разные должности, значит число способов равно числу размещений:
   $$A_8^3=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6=336.$$
3. Выбрать 16 книг из 20 можно числом сочетаний:
   $$C_{20}^{16}=\frac{20!}{16!\,4!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=4845.$$
4. Выбор 2 авторучек из 5 и 3 блокнотов из 6 независим:
   $$C_5^2\cdot C_6^3=\frac{5!}{2!\,3!}\cdot \frac{6!}{3!\,3!}=10\cdot 20=200.$$
5. Вычислим:

   а) $$P_8=8!=40320;$$

   б) $$A_9^4=\frac{9!}{(9-4)!}=\frac{9!}{5!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=3024;$$

   в) $$C_{11}^8=\frac{11!}{8!\,3!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{3\cdot 2\cdot 1}=165.$$

6. Докажем равенство:
   $$k\cdot C_n^k=n\cdot C_{n-1}^{k-1}.$$
   По формуле сочетаний
   $$ k\cdot C_n^k =k\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}. $$
   С другой стороны,
   $$ n\cdot C_{n-1}^{k-1} =n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!\bigl((n-1)-(k-1)\bigr)!} =n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}. $$
   Следовательно,
   $$k\cdot C_n^k=n\cdot C_{n-1}^{k-1}.$$

Ответ

1) 5040; 2) 336; 3) 4845; 4) 200; 5) а) 40320, б) 3024, в) 165; 6) равенство доказано.