Контрольная работа 6 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin(\alpha+\beta)-2\sin\beta\cos\alpha,$$ если $$\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}.$$

   Раскроем скобки по формуле суммы:
   $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$
   Тогда
   $$\sin(\alpha+\beta)-2\sin\beta\cos\alpha =\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha =\sin(\alpha-\beta).$$
   Так как $$\alpha-\beta=\frac{\pi}{2},$$ то
   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   б) $$\sin^2\alpha-\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin(\pi-\alpha)}{\tg(\pi-\alpha)\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}.$$

   Используем тождества:
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,\quad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,$$
   $$\tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha,\quad \ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\tg\alpha.$$
   Тогда
   $$\sin^2\alpha-\frac{(-\sin\alpha)\sin\alpha}{(-\tg\alpha)(-\tg\alpha)} =\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha}.$$
   Так как $$\frac{1}{\tg^2\alpha}=\ctg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha},$$ получаем
   $$\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha} =\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

2. $$(\cos 32^\circ+\cos 28^\circ)^2+(\sin 32^\circ-\sin 28^\circ)^2$$
   $$=\cos^2 32^\circ+\cos^2 28^\circ+2\cos 32^\circ\cos 28^\circ +\sin^2 32^\circ+\sin^2 28^\circ-2\sin 32^\circ\sin 28^\circ$$
   $$=2+2(\cos 32^\circ\cos 28^\circ-\sin 32^\circ\sin 28^\circ) =2+2\cos(32^\circ+28^\circ)$$
   $$=2+2\cos 60^\circ=2+2\cdot\frac12=3.$$

3. Дано: $$\sin\alpha=-\frac{12}{13},\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$ Значит, $$\cos\alpha>0.$$

   а)
   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{144}{169}} =\sqrt{\frac{25}{169}} =\frac{5}{13}.$$

   б)
   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot\frac{5}{13} =-\frac{120}{169}.$$

   в)
   $$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha =1-2\cdot\frac{144}{169} =1-\frac{288}{169} =-\frac{119}{169}.$$

4. $$y=\frac{\cos 4x\cos 3x+\sin 4x\sin 3x}{\sin 4x\cos 3x-\sin 3x\cos 4x} =\frac{\cos(4x-3x)}{\sin(4x-3x)} =\frac{\cos x}{\sin x} =\ctg x.$$

   Следовательно, график данной функции совпадает с графиком $$y=\ctg x.$$
   Область определения:
   $$x\ne \pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

5. $$2\sin 34^\circ\sin 26^\circ-\sin 82^\circ =2\cdot\frac12(\cos 8^\circ-\cos 60^\circ)-\sin 82^\circ$$
   $$=\cos 8^\circ-\frac12-\cos 8^\circ=-\frac12.$$

6. $$\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\frac18.$$

   Используем формулу
   $$2\sin a\cos a=\sin 2a.$$
   Тогда
   $$2\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}=\sin\frac{4\pi}{9},$$
   $$2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\sin\frac{8\pi}{9}.$$
   Перемножим:
   $$8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} =\sin\frac{8\pi}{9}.$$
   Но
   $$\sin\frac{8\pi}{9}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{9}\right)=\sin\frac{\pi}{9}.$$
   Значит,
   $$8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} =\sin\frac{\pi}{9},$$
   откуда
   $$\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\frac18.$$

7. Пусть $$x$$ — скорость пешехода, тогда $$y$$ — скорость велосипедиста.
   После встречи велосипедист затратил 1 ч на путь до города $$B$$, а пешеход — 4 ч на путь до города $$A$$.
   Значит, пройденные после встречи расстояния относятся как скорости:
   $$y: x = 4:1?$$

   Обозначим время до встречи через $$t$$. Тогда до встречи велосипедист и пешеход прошли одинаковое расстояние:
   $$yt=4x.$$
   После встречи велосипедист прошёл ещё $$y\cdot 1=y$$, а пешеход — $$x\cdot 4=4x$$.
   Эти расстояния равны тому же расстоянию от места встречи до соответствующих городов, поэтому
   $$y=4x.$$
   Следовательно,
   $$\frac{y}{x}=4.$$

Ответ

1) а) $$1$$; б) $$1$$;
2) $$3$$;
3) а) $$\frac{5}{13}$$; б) $$-\frac{120}{169}$$; в) $$-\frac{119}{169}$$;
4) $$y=\ctg x$$;
5) $$-\frac12$$;
6) $$\frac18$$;
7) в $$4$$ раза.