Контрольная работа 5 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$\cos 60^\circ-\sqrt{6}\cos 30^\circ\sin 45^\circ+\operatorname{ctg}30^\circ\operatorname{tg}150^\circ-\operatorname{tg}45^\circ$$;
б) $$\sin\frac{\pi}{6}+\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}-\sqrt{3}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}$$. - Упростите выражение:
а) $$\frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{\cos^2(-x)},\quad x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$;
б) $$\sin(\pi-x)+\cos(3\pi+x)+\sin(-x)+\cos(-x)$$. - Вычислите:
а) $$(\cos^2 x-\sin^2 x)^2+4\sin^2 x\cos^2 x$$;
б) $$\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x$$, если $$\sin x\cos x=0{,}6$$. - Найдите все такие углы $$x$$, для каждого из которых выполняется равенство:
а) $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
б) $$\cos x=-\frac{1}{2}$$;
в) $$\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
г) $$\operatorname{ctg}x=\sqrt{3}$$. - Вычислите:
а) $$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x$$, если $$\operatorname{tg}x-\operatorname{ctg}x=-4$$;
б) $$1+\frac{2}{\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x}$$, если $$\cos x+\sin x=\frac{1}{3}$$. - Вычислите: $$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}-\arccos 1+\frac{\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})}{\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}$$.
- Некоторое расстояние планировали проехать с постоянной скоростью, а проехали расстояние на 40% большее и со скоростью на 75% большей. На сколько процентов время движения оказалось меньше запланированного?
а)
$$\cos 60^\circ-\sqrt{6}\cos 30^\circ\sin 45^\circ+\ctg 30^\circ\cdot\tg 150^\circ-\tg 45^\circ$$
$$=\frac12-\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\sqrt3\cdot(-\sqrt3)-1$$
$$=\frac12-\frac{6}{4}-3-1=-3.$$б)
$$\sin\frac{\pi}{6}+\sqrt2\cos\frac{3\pi}{4}-\sqrt3\ctg\frac{\pi}{3}$$
$$=\frac12+\sqrt2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{3}$$
$$=\frac12-1-1=-\frac32.$$а)
$$\frac{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}{\cos^2(-\alpha)}= \frac{1-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}= \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1.$$
б)
$$\sin(\pi-\alpha)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)+\cos(-\alpha)$$
$$=\sin\alpha-\cos\alpha-\sin\alpha+\cos\alpha=0.$$а)
$$\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)^2+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$
$$=\cos^4\alpha-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\sin^4\alpha+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$
$$=\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)^2=1.$$б)
$$\tg\alpha+\ctg\alpha=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{0{,}6}=\frac53.$$
а)
$$\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow \alpha=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б)
$$\cos\alpha=-\frac12 \Rightarrow \alpha=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в)
$$\tg\alpha=-\frac{\sqrt3}{3} \Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г)
$$\ctg\alpha=\sqrt3 \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а)
$$A=\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha,\quad \tg\alpha-\ctg\alpha=-4.$$
$$A=\left(\tg\alpha-\ctg\alpha\right)^2+2\tg\alpha\ctg\alpha=16+2=18.$$б)
$$B=1+\frac{2}{\tg\alpha+\ctg\alpha},\quad \cos\alpha+\sin\alpha=\frac13.$$
$$\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha,$$
$$\frac19=1+2\sin\alpha\cos\alpha \Rightarrow \sin\alpha\cos\alpha=-\frac49.$$
$$\tg\alpha+\ctg\alpha=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=-\frac94,$$
$$B=1+\frac{2}{-9/4}=1-\frac89=\frac19.$$$$\arcsin\frac{\sqrt3}{2}-\arccos 1+\frac{\arctg(-\sqrt3)}{\arcctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)}$$
$$=\frac{\pi}{3}-0+\frac{-\pi/3}{5\pi/6}=\frac{\pi}{3}-\frac{2}{5}.$$Пусть планируемое расстояние равно $$y$$, а планируемая скорость — $$x$$. Тогда запланированное время:
$$t_1=\frac{y}{x}.$$
Фактически проехали расстояние $$1{,}4y$$ со скоростью $$1{,}75x$$, значит
$$t_2=\frac{1{,}4y}{1{,}75x}=\frac45\cdot\frac{y}{x}=\frac45t_1.$$
Следовательно, время стало меньше на
$$\left(1-\frac45\right)\cdot100\%=20\%.$$
Ответ
1) а) $$-3$$; б) $$-\frac32$$.
2) а) $$1$$; б) $$0$$.
3) а) $$1$$; б) $$\frac53$$.
4) а) $$\alpha=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$\alpha=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$\alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$; г) $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
5) а) $$18$$; б) $$\frac19$$.
6) $$\frac{\pi}{3}-\frac25$$.
7) на $$20\%$$.
