Самостоятельная работа 7 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. 9x^6-6x^3+2 > 0 для любого действительного числа x.
2. (a+3)/(a+4) < (a+4)/(a+5) для любого положительного числа a.
3. (a^2+1)(a^4+1)(a^6+1)?8a^6 для любого действительного числа a.
4. а) 11/12·13/14·15/16·...·1099/1100 < 1/10;
б) 2/3·5/6·8/9·...·128/129 < 1/4.
$$9x^6-6x^3+2=(3x^3-1)^2+1.$$
Так как $$\left(3x^3-1\right)^2 \ge 0,$$ то
$$9x^6-6x^3+2=(3x^3-1)^2+1>0$$
при любом действительном $$x$$.
Пусть $$a>0.$$ Докажем:
$$\frac{a+3}{a+4}<\frac{a+4}{a+5}.$$
Так как знаменатели положительны, умножим крест-накрест:
$$ (a+3)(a+5)<(a+4)^2 $$
$$ a^2+8a+15<a^2+8a+16 $$
$$ 15<16. $$
Неравенство верно при любом $$a>0.$$
Используем неравенство $$t^2+1\ge 2t$$ при $$t\in \mathbb{R}.$$ Тогда
$$a^2+1\ge 2a,\quad a^4+1\ge 2a^2,\quad a^6+1\ge 2a^3.$$
Перемножим:
$$ (a^2+1)(a^4+1)(a^6+1)\ge 2a\cdot 2a^2\cdot 2a^3=8a^6. $$
Следовательно,
$$ (a^2+1)(a^4+1)(a^6+1)\ge 8a^6. $$
а) Обозначим
$$ A=\frac{11}{12}\cdot\frac{13}{14}\cdot\frac{15}{16}\cdots\frac{1099}{1100}. $$
Рассмотрим также
$$ B=\frac{12}{13}\cdot\frac{14}{15}\cdot\frac{16}{17}\cdots\frac{1100}{1101}. $$
Тогда
$$ AB=\frac{11}{1101}<\frac{11}{1100}=\frac{1}{100}. $$
Кроме того, $$A<B,$$ значит $$A^2<AB.$$ Следовательно,
$$ A^2<\frac{1}{100}, $$
откуда
$$ A<\frac{1}{10}. $$
Значит,
$$ \frac{11}{12}\cdot\frac{13}{14}\cdot\frac{15}{16}\cdots\frac{1099}{1100}<\frac{1}{10}. $$
б) Обозначим
$$ A=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{8}{9}\cdots\frac{128}{129}. $$
Тогда
$$ B=\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{10}{11}\cdots\frac{130}{131}, $$
$$ C=\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{9}{10}\cdots\frac{129}{130}. $$
Перемножим:
$$ ABC=\frac{2}{131}<\frac{2}{128}=\frac{1}{64}. $$
Так как $$A<C<B,$$ то $$A^3<ABC.$$ Значит,
$$ A^3<\frac{1}{64}, $$
откуда
$$ A<\frac{1}{4}. $$
Следовательно,
$$ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{8}{9}\cdots\frac{128}{129}<\frac{1}{4}. $$
Ответ
1) $$9x^6-6x^3+2>0$$ при любом $$x\in\mathbb{R}$$; 2) $$\dfrac{a+3}{a+4}<\dfrac{a+4}{a+5}$$ при $$a>0$$; 3) $$\left(a^2+1\right)\left(a^4+1\right)\left(a^6+1\right)\ge 8a^6$$; 4а) $$\dfrac{11}{12}\cdot\dfrac{13}{14}\cdot\dfrac{15}{16}\cdots\dfrac{1099}{1100}<\dfrac{1}{10}$$; 4б) $$\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{8}{9}\cdots\dfrac{128}{129}<\dfrac{1}{4}$$.
