Контрольная работа 5 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) cos(60°)-v6cos(30°)sin(45°)+ctg(30°)tg(150°)-tg(45°);
б) sin(?/6)+v2cos(3?/4)-v3ctg(?/3).
2. Упростите выражение:
а) (1-sin(?))(1+sin(?))/cos^2(-?), ???/2+?n, n?Z;
б) sin(?-?)+cos(3?+?)+sin(-?)+cos(-?).
3. Вычислите:
а) (cos^2(?)-sin^2(?))^2+4sin^2(?)cos^2(?);
б) tg(?)+ctg(?), если sin(?)cos(?)=0,6.
4. Найдите все такие углы ?, для каждого из которых выполняется равенство:
а) sin(?)=v2/2; б) cos(?)=-1/2; в) tg(?)=-v3/3; г) ctg(?)=v3.
5*. Вычислите:
а) tg^2(?)+ctg^2(?), если tg(?)-ctg(?)=-4;
б) 1+2/(tg(?)+ctg(?)), если cos(?)+sin(?)=1/3.
6*. Вычислите arcsin(v3/2)-arccos(1)+arctg(-v3)/arcctg(-v3/3).
7*. Некоторое расстояние планировали проехать с постоянной скоростью, а проехали расстояние на 40% большее и со скоростью на 75% большей. На сколько процентов время движения оказалось меньше запланированного?

1. а)

   $$\cos 60^\circ-\sqrt{6}\cos 30^\circ\sin 45^\circ+\ctg 30^\circ\cdot\tg 150^\circ-\tg 45^\circ$$
   $$=\frac12-\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\sqrt3\cdot(-\sqrt3)-1$$
   $$=\frac12-\frac{6}{4}-3-1=-3.$$

   б)

   $$\sin\frac{\pi}{6}+\sqrt2\cos\frac{3\pi}{4}-\sqrt3\ctg\frac{\pi}{3}$$
   $$=\frac12+\sqrt2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{3}$$
   $$=\frac12-1-1=-\frac32.$$

2. а)

   $$\frac{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}{\cos^2(-\alpha)}= \frac{1-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}= \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1.$$

   б)

   $$\sin(\pi-\alpha)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)+\cos(-\alpha)$$
   $$=\sin\alpha-\cos\alpha-\sin\alpha+\cos\alpha=0.$$

3. а)

   $$\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)^2+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$
   $$=\cos^4\alpha-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\sin^4\alpha+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$
   $$=\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)^2=1.$$

   б)

   $$\tg\alpha+\ctg\alpha=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{0{,}6}=\frac53.$$

4. а)

   $$\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow \alpha=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   б)

   $$\cos\alpha=-\frac12 \Rightarrow \alpha=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   в)

   $$\tg\alpha=-\frac{\sqrt3}{3} \Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   г)

   $$\ctg\alpha=\sqrt3 \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. а)

   $$A=\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha,\quad \tg\alpha-\ctg\alpha=-4.$$
   $$A=\left(\tg\alpha-\ctg\alpha\right)^2+2\tg\alpha\ctg\alpha=16+2=18.$$

   б)

   $$B=1+\frac{2}{\tg\alpha+\ctg\alpha},\quad \cos\alpha+\sin\alpha=\frac13.$$
   $$\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha,$$
   $$\frac19=1+2\sin\alpha\cos\alpha \Rightarrow \sin\alpha\cos\alpha=-\frac49.$$
   $$\tg\alpha+\ctg\alpha=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=-\frac94,$$
   $$B=1+\frac{2}{-9/4}=1-\frac89=\frac19.$$

6. $$\arcsin\frac{\sqrt3}{2}-\arccos 1+\frac{\arctg(-\sqrt3)}{\arcctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)}$$
   $$=\frac{\pi}{3}-0+\frac{-\pi/3}{5\pi/6}=\frac{\pi}{3}-\frac{2}{5}.$$

7. Пусть планируемое расстояние равно $$y$$, а планируемая скорость — $$x$$. Тогда запланированное время:
   $$t_1=\frac{y}{x}.$$
   Фактически проехали расстояние $$1{,}4y$$ со скоростью $$1{,}75x$$, значит
   $$t_2=\frac{1{,}4y}{1{,}75x}=\frac45\cdot\frac{y}{x}=\frac45t_1.$$
   Следовательно, время стало меньше на
   $$\left(1-\frac45\right)\cdot100\%=20\%.$$

Ответ

1) а) $$-3$$; б) $$-\frac32$$.
2) а) $$1$$; б) $$0$$.
3) а) $$1$$; б) $$\frac53$$.
4) а) $$\alpha=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$\alpha=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$\alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$; г) $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
5) а) $$18$$; б) $$\frac19$$.
6) $$\frac{\pi}{3}-\frac25$$.
7) на $$20\%$$.