Самостоятельная работа 6 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) x^4-37x^2+36=0;
б) (x+86)^2+44(x+86)+160=0;
в) (3x^2-2x)^2+16(3x^2-2x)-17=0;
г) (x+1)(x+4)(x+6)(x+9)=100.
2. а) 3x^2-2x-13+40/(3x^2-2x)=0;
б) (x^2+4x+1)/(x^2-x-5)+9·(x^2-x-5)/(x^2+4x+1)=-6.
а) Пусть $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2-37y+36=0.$$
$$D=37^2-4\cdot 36=1369-144=1225,$$
$$y_{1,2}=\frac{37\pm 35}{2}.$$
Отсюда $$y_1=1,\; y_2=36.$$
Тогда
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$
$$x^2=36 \Rightarrow x=\pm 6.$$
Ответ: $$-6;\,-1;\,1;\,6.$$
б) Пусть $$y=x+86$$. Тогда
$$y^2+44y+160=0.$$
$$D=44^2-4\cdot 160=1936-640=1296,$$
$$y_{1,2}=\frac{-44\pm 36}{2}.$$
Получаем $$y_1=-40,\; y_2=-4.$$
Тогда
$$x=-40-86=-126,$$
$$x=-4-86=-90.$$
Ответ: $$-126;\,-90.$$
в) Пусть $$y=3x^2-2x$$. Тогда
$$y^2+16y-17=0.$$
$$D=16^2+4\cdot 17=256+68=324,$$
$$y_{1,2}=\frac{-16\pm 18}{2}.$$
Получаем $$y_1=-17,\; y_2=1.$$
1) $$3x^2-2x=-17 \Rightarrow 3x^2-2x+17=0,$$
$$D=4-204=-200<0,$$
действительных корней нет.
2) $$3x^2-2x=1 \Rightarrow 3x^2-2x-1=0,$$
$$D=4+12=16,$$
$$x=\frac{2\pm 4}{6}.$$
Отсюда $$x_1=-\frac13,\; x_2=1.$$
Ответ: $$-\frac13;\,1.$$
г) Перепишем:
$$ (x+1)(x+9)(x+4)(x+6)=100.$$
Сгруппируем:
$$ (x^2+10x+9)(x^2+10x+24)=100.$$
Пусть $$y=x^2+10x$$. Тогда
$$ (y+9)(y+24)=100,$$
$$y^2+33y+216=100,$$
$$y^2+33y+116=0.$$
$$D=33^2-4\cdot 116=1089-464=625,$$
$$y_{1,2}=\frac{-33\pm 25}{2}.$$
Получаем $$y_1=-29,\; y_2=-4.$$
1) $$x^2+10x=-29 \Rightarrow x^2+10x+29=0,$$
$$D=100-116=-16<0,$$
действительных корней нет.
2) $$x^2+10x=-4 \Rightarrow x^2+10x+4=0,$$
$$D=100-16=84,$$
$$x=\frac{-10\pm \sqrt{84}}{2}=-5\pm \sqrt{21}.$$
Ответ: $$-5-\sqrt{21};\,-5+\sqrt{21}.$$
2а) Пусть $$y=3x^2-2x$$. Тогда
$$y-13+\frac{40}{y}=0,\qquad y\ne 0.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-13y+40=0.$$
$$D=13^2-4\cdot 40=169-160=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{13\pm 3}{2}.$$
Получаем $$y_1=5,\; y_2=8.$$
1) $$3x^2-2x=5 \Rightarrow 3x^2-2x-5=0,$$
$$D=4+60=64,$$
$$x=\frac{2\pm 8}{6}.$$
Отсюда $$x=-1,\; \frac53.$$
2) $$3x^2-2x=8 \Rightarrow 3x^2-2x-8=0,$$
$$D=4+96=100,$$
$$x=\frac{2\pm 10}{6}.$$
Отсюда $$x=-\frac43,\; 2.$$
Ответ: $$-\frac43;\,-1;\,\frac53;\,2.$$
2б) Обозначим
$$y=\frac{x^2+4x+1}{x^2-x-5},\qquad y\ne 0.$$
Тогда
$$y+\frac{9}{y}=-6.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+9=-6y,$$
$$y^2+6y+9=0,$$
$$ (y+3)^2=0,\qquad y=-3.$$
Тогда
$$\frac{x^2+4x+1}{x^2-x-5}=-3,$$
$$x^2+4x+1=-3(x^2-x-5),$$
$$4x^2+x-14=0.$$
$$D=1+224=225,$$
$$x=\frac{-1\pm 15}{8}.$$
Получаем $$x_1=-2,\; x_2=\frac74.$$
Проверка ОДЗ: $$x^2-x-5\ne 0$$ и $$x^2+4x+1\ne 0$$ выполняется для обоих значений.
Ответ: $$-2;\,\frac74.$$
