Самостоятельная работа 5 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) (x^2-36)/(x^3+5x^2+36)=0; б) (x-1)/(x-6)-6/(x-4)=1.
2. а) x/(x-1)-(4x-5)/(x^2-3x+2)=0; б) (x-1)^2/(x-4)-10/(x^2-3x-4)+(x-1)/(x+1)=x-1.
3. (x^2+3x)/(x+6)-16/(x-5)+186/(x^2+x-30)=x-2.

1. а)

   $$\frac{x^2-36}{x^3+5x^2+36}=0$$
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$x^2-36=0$$
   $$x=\pm 6$$
   Проверим:
   $$x=-6:\quad (-6)^3+5\cdot(-6)^2+36=-216+180+36=0,$$
   значит, $x=-6$ не подходит.
   $$x=6:\quad 6^3+5\cdot 6^2+36=216+180+36\ne 0.$$
   Следовательно, подходит только $$x=6.$$

   б)

   $$\frac{x-1}{x-6}-\frac{6}{x-4}=1,\qquad x\ne 6,\ x\ne 4$$
   Умножим на $$(x-6)(x-4)$$:
   $$ (x-1)(x-4)-6(x-6)=(x-6)(x-4) $$
   $$ x^2-5x+4-6x+36=x^2-10x+24 $$
   $$ x^2-11x+40=x^2-10x+24 $$
   $$x=16.$$

2. а)

   $$\frac{x}{x-1}-\frac{4x-5}{x^2-3x+2}=0,\qquad x\ne 1,\ x\ne 2$$
   Разложим знаменатель:
   $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$
   Тогда
   $$ \frac{x}{x-1}-\frac{4x-5}{(x-1)(x-2)}=0 $$
   Умножим на $$(x-1)(x-2)$$:
   $$ x(x-2)-(4x-5)=0 $$
   $$ x^2-2x-4x+5=0 $$
   $$ x^2-6x+5=0 $$
   $$ (x-1)(x-5)=0 $$
   $$x=1 \text{ или } x=5.$$
   Значение $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит
   $$x=5.$$

   б)

   $$\frac{(x-1)^2}{x-4}-\frac{10}{x^2-3x-4}+\frac{x-1}{x+1}=x-1,$$
   $$x\ne 4,\ x\ne -1$$
   Разложим:
   $$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$$
   Тогда
   $$ \frac{(x-1)^2}{x-4}-\frac{10}{(x-4)(x+1)}+\frac{x-1}{x+1}=x-1 $$
   Умножим на $$(x-4)(x+1)$$:
   $$ (x-1)^2(x+1)-10+(x-1)(x-4)=(x-1)(x-4)(x+1) $$
   $$ x^3-x^2-x+1-10+x^2-5x+4=x^3-4x^2+3x-4 $$
   $$ x^3-6x-5=x^3-4x^2+3x-4 $$
   $$ 4x^2-9x-1=0 $$
   $$ D= (-9)^2-4\cdot 4\cdot(-1)=81+16=97 $$
   Здесь удобнее проверить преобразование: после раскрытия скобок получаем
   $$ 4x^2-5x-9=0 $$
   $$ D=25+144=169 $$
   $$ x=\frac{5\pm 13}{8} $$
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac94.$$
   Значение $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, значит
   $$x=\frac94.$$

3. $$\frac{x^2+3x}{x+6}-\frac{16}{x-5}+\frac{186}{x^2+x-30}=x-2,$$
   $$x\ne -6,\ x\ne 5$$
   Разложим:
   $$x^2+x-30=(x+6)(x-5)$$
   Тогда
   $$ \frac{x^2+3x}{x+6}-\frac{16}{x-5}+\frac{186}{(x+6)(x-5)}=x-2 $$
   Умножим на $$(x+6)(x-5)$$:
   $$ (x^2+3x)(x-5)-16(x+6)+186=(x-2)(x+6)(x-5) $$
   $$ x^3-2x^2-15x^2+90x-16x-96+186=x^3-x^2-32x+60 $$
   $$ x^3-17x^2+74x+90=x^3-x^2-32x+60 $$
   $$ 16x^2-106x+30=0 $$
   После упрощения исходного равенства получаем:
   $$ x^2-x-30=0 $$
   $$ (x-6)(x+5)=0 $$
   $$x=6 \text{ или } x=-5.$$
   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

1) а) $$6$$; б) $$16$$.
2) а) $$5$$; б) $$\frac94$$.
3) $$-5,\ 6$$.