Контрольная работа 2 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Верно ли равенство:
а) $$(5^8)^{1/8}=-5$$;
б) $$(6^8)^{1/8}=6$$;
в) $$((-7)^8)^{1/8}=-7$$;
г) $$((-8)^8)^{1/8}=8$$? - Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) $$\frac{2}{9^{1/3}}$$;
б) $$\frac{7^{1/3}}{7^{1/3}-1}$$;
в) $$\frac{5}{36^{1/3}-6^{1/3}+1}$$. - Вычислите:
а) $$(2001^2-2\cdot2001\cdot401+401^2)^{1/4}$$;
б) $$(1799^3+3\cdot1799^2\cdot203+3\cdot1799\cdot203^2+203^3)^{1/3}$$. - Упростите выражение $$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x^{1/6}+y^{1/6})(x^{1/3}-(xy)^{1/6}+y^{1/3})$$.
- Вычислите $$48^{1/3}-3^{1/3}\cdot(4^{1/3})^2+\frac{1}{36^{1/3}+30^{1/3}+25^{1/3}}+25^{1/6}-36^{1/6}$$.
- Найдите значение выражения $$\left(x\sqrt{x\sqrt[4]{x}}\right)^{1/3}$$ при $$x=(27^8)^{1/13}$$.
- Моторная лодка проходит расстояние между пристанями А и В по течению реки за 25 мин, а против течения за 50 мин. Во сколько раз собственная скорость моторной лодки больше скорости течения реки?
Используем свойство: $$\left(a^n\right)^{\frac1n}=|a|$$ при чётном $$n$$.
а) $$\left(5^8\right)^{\frac18}=5,$$ значит равенство неверно;
б) $$\left(6^8\right)^{\frac18}=6,$$ значит верно;
в) $$\left((-7)^8\right)^{\frac18}=7,$$ значит неверно;
г) $$\left((-8)^8\right)^{\frac18}=8,$$ значит верно.Избавимся от иррациональности в знаменателе:
а) $$\frac{2}{\sqrt[3]{9}}=\frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2\sqrt[3]{3}}{3};$$
б) $$\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}-1}\cdot\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1} =\frac{7+\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}}{6};$$
в) $$\frac{5}{\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{6}+1}\cdot\frac{\sqrt[3]{6}+1}{\sqrt[3]{6}+1} =\frac{5(\sqrt[3]{6}+1)}{7}.$$
а) $$\sqrt[4]{2001^2-2\cdot2001\cdot401+401^2} =\sqrt[4]{(2001-401)^2} =\sqrt[4]{1600^2} =40;$$
б) $$\sqrt[3]{1799^3+3\cdot1799^2\cdot203+3\cdot1799\cdot203^2+203^3} =\sqrt[3]{(1799+203)^3} =2002.$$
$$\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}\right).$$
Положим $$a=\sqrt[6]{x},\quad b=\sqrt[6]{y}.$$ Тогда выражение равно
$$(a^3-b^3)(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Так как $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$ получаем
$$(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2).$$
Но
$$(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=(a^2+b^2)^2-a^2b^2=a^4+a^2b^2+b^4,$$
и после подстановки исходное выражение упрощается до
$$\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}\right)=x-y.$$
$$\sqrt[3]{48}-\sqrt[3]{3}\cdot\left(\sqrt[3]{4}\right)^2+\frac{1}{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{25}}+\sqrt[6]{25}-\sqrt[6]{36}.$$
$$\sqrt[3]{48}=2\sqrt[3]{6},\qquad \sqrt[3]{3}\cdot\left(\sqrt[3]{4}\right)^2=\sqrt[3]{48},$$
$$\frac{1}{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{25}} =\frac{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{5}}{6-5} =\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{5},$$
$$\sqrt[6]{25}=\sqrt[3]{5},\qquad \sqrt[6]{36}=\sqrt[3]{6}.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{48}-\sqrt[3]{3}\cdot\left(\sqrt[3]{4}\right)^2+\frac{1}{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{25}}+\sqrt[6]{25}-\sqrt[6]{36}=0.$$
$$\sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[4]{x}}}.$$
Преобразуем степень:
$$x\sqrt{x\sqrt[4]{x}}=x\sqrt{x\cdot x^{1/4}}=x\sqrt{x^{5/4}}=x\cdot x^{5/8}=x^{13/8}.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[4]{x}}}=\sqrt[3]{x^{13/8}}=x^{13/24}.$$
При $$x=\left(27^8\right)^{1/13}$$ имеем
$$x^{13/24}=\left(\left(27^8\right)^{1/13}\right)^{13/24}=27^{8/24}=27^{1/3}=3.$$
Пусть $$x$$ — собственная скорость лодки, $$y$$ — скорость течения.
Тогда по течению скорость равна $$x+y$$, а против течения — $$x-y$$.
Так как расстояние одно и то же, получаем:
$$25(x+y)=50(x-y).$$$$25x+25y=50x-50y,$$
$$75y=25x,$$
$$x=3y.$$
Значит, собственная скорость лодки в 3 раза больше скорости течения.
Ответ
1) а) нет; б) да; в) нет; г) да.
2) а) $$\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}$$; б) $$\frac{7+\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}}{6}$$; в) $$\frac{5(\sqrt[3]{6}+1)}{7}$$.
3) а) $$40$$; б) $$2002$$.
4) $$x-y$$.
5) $$0$$.
6) $$3$$.
7) в 3 раза.
