Самостоятельная работа 45 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. {4x+3y=8, 2^y-3·2^((x-3)/2+y)=4}.
2. {(5x-4y)/(4x-5y)+12x-15y=11, 6·7^(4x-5y)+7=7^(8x-10y)}.
3. {3cos(x)+4sin(y)=2,5, 4cos(x)-3sin(y)=-5}.
4. {3/v(x+2)-2/v(y-3)=7, 2/v(x+2)+3/v(y-3)=22}.
Из первого уравнения:
$$4x+3y=8,$$
$$x=\frac{8-3y}{4}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2^y-3\cdot 2^{\frac{x-3}{2}+y}=4,$$
$$2^y-3\cdot 2^{\frac{8-3y}{8}-\frac{3}{2}+y}=4,$$
$$2^y-3\cdot 2^{\frac{5y}{8}-\frac{1}{2}}=4.$$
Пусть $$y=4$$. Тогда:
$$2^4-3\cdot 2^{\frac{5\cdot 4}{8}-\frac{1}{2}}=16-3\cdot 2^{2}=16-12=4.$$
Значит, $$y=4$$, а тогда
$$x=\frac{8-3\cdot 4}{4}=\frac{-4}{4}=-1.$$
Ответ: $$(-1;4).$$
Обозначим $$t=4x-5y.$$ Тогда система принимает вид:
$$\frac{5x-4y}{4x-5y}+12x-15y=11,$$
$$6\cdot 7^t+7=7^{2t}.$$
Положим $$z=7^t$$. Тогда:
$$6z+7=z^2,$$
$$z^2-6z-7=0,$$
$$D=36+28=64,$$
$$z_1=\frac{6-8}{2}=-1,\quad z_2=\frac{6+8}{2}=7.$$
Так как $$z=7^t>0$$, то $$z=7$$, значит $$7^t=7$$ и $$t=1$$.
Тогда
$$4x-5y=1.$$
Из первого уравнения:
$$\frac{5x-4y}{1}+12x-15y=11,$$
$$17x-19y=11.$$
Решаем систему
$$ \begin{cases} 4x-5y=1,\\ 17x-19y=11. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$17$$, второе на $$4$$:
$$68x-85y=17,$$
$$68x-76y=44.$$
Вычитаем:
$$-9y=-27,\quad y=3.$$
Тогда
$$4x-5\cdot 3=1,\quad 4x=16,\quad x=4.$$
Ответ: $$ (4;3). $$
Сложим уравнения системы:
$$ \begin{cases} 3\cos x+4\sin y=2{,}5,\\ 4\cos x-3\sin y=-5. \end{cases} $$
$$7\cos x+\sin y=-2{,}5.$$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе на $$4$$ и сложим:
$$ \begin{cases} 9\cos x+12\sin y=7{,}5,\\ 16\cos x-12\sin y=-20. \end{cases} $$
$$25\cos x=-12{,}5,\quad \cos x=-\frac12.$$
Тогда
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Из второго уравнения:
$$4\cos x-3\sin y=-5,$$
$$4\cdot\left(-\frac12\right)-3\sin y=-5,$$
$$-2-3\sin y=-5,\quad \sin y=1.$$
Значит,
$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Ответ: $$\left(\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi k\right).$$
Обозначим
$$a=\frac{1}{\sqrt{x+2}},\quad b=\frac{1}{\sqrt{y-3}}.$$
Тогда система имеет вид:
$$ \begin{cases} 3a-2b=7,\\ 2a+3b=22. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе на $$2$$:
$$ \begin{cases} 9a-6b=21,\\ 4a+6b=44. \end{cases} $$
Сложим:
$$13a=65,\quad a=5.$$
Тогда
$$\frac{1}{\sqrt{x+2}}=5,\quad \sqrt{x+2}=\frac15,$$
$$x+2=\frac{1}{25},\quad x=-\frac{49}{25}.$$
Из второго уравнения:
$$2\cdot 5+3b=22,\quad 3b=12,\quad b=4,$$
$$\frac{1}{\sqrt{y-3}}=4,\quad \sqrt{y-3}=\frac14,$$
$$y-3=\frac{1}{16},\quad y=\frac{49}{16}.$$
Ответ: $$\left(-\frac{49}{25};\frac{49}{16}\right).$$
