Самостоятельная работа 44 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. sin(x)-v3cos(x)=1.
2. 5sin(x)+4sin(x)cos(x)-5cos(x)=5.
Решите неравенство (3—4).
3. 2v3sin^2(x)+2sin(x)cos(x) > v3.
4. 3sin(x)+3cos(x)+2sin(x)cos(x) < -3. 5. Определите все a, при каждом из которых уравнение 5sin(x)+12cos(x)=a-4 имеет хотя бы одно решение.

1. $$\sin x-\sqrt3\cos x=1$$

   Представим левую часть в виде одной синусоиды:

   $$2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=1,$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$5\sin x+4\sin x\cos x-5\cos x=5$$

   Обозначим $$y=\sin x-\cos x.$$ Тогда

   $$y^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-2\sin x\cos x,$$

   значит

   $$2\sin x\cos x=1-y^2.$$

   Подставим в уравнение:

   $$5y+2(1-y^2)=5,$$

   $$2y^2-5y+3=0,$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$y_1=1,\quad y_2=\frac32.$$

   Но $$\sin x-\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ поэтому $$y=\frac32$$ подходит, а $$y=1$$ тоже подходит.

   1) Если $$\sin x-\cos x=\frac32,$$ то решений нет, так как это значение не достигается.

   2) Если $$\sin x-\cos x=1,$$ то

   $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

   то есть

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\sqrt3\sin^2 x+2\sin x\cos x>\sqrt3$$

   Используем формулы $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ и $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

   $$\sqrt3(1-\cos 2x)+\sin 2x>\sqrt3,$$

   $$\sqrt3\cos 2x-\sin 2x<0.$$

   Представим левую часть как одну косинусоиду:

   $$2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x-\frac12\sin 2x\right)<0,$$

   $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)<0.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x+\frac{\pi}{6}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$3\sin x+3\cos x+2\sin x\cos x<-3$$

   Положим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

   $$y^2=1+2\sin x\cos x,$$

   и неравенство принимает вид

   $$3y+y^2-1<-3,$$

   $$y^2+3y+2<0,$$

   $$ (y+2)(y+1)<0,$$

   откуда

   $$-2<y<-1.$$

   Но $$y=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$ поэтому

   $$-2<\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<-1.$$

   Так как $$\sin t\ge -1,$$ то левая часть выполняется всегда, а нужно решить

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$x+\frac{\pi}{4}\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\,-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),$$

   то есть

   $$x\in\left(-\pi+2\pi n,\,-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$5\sin x+12\cos x=a-4$$

   Найдём амплитуду:

   $$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13.$$

   Тогда

   $$5\sin x+12\cos x=13\sin(x+t)$$

   для некоторого $$t$$, значит левая часть принимает все значения от $$-13$$ до $$13$$.

   Следовательно, уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда

   $$-13\le a-4\le 13.$$

   Отсюда

   $$-9\le a\le 17.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
3) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$x\in\left(-\pi+2\pi n,\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$;
5) $$a\in[-9;17]$$.