Самостоятельная работа 42 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. 2sin(x)-3cos(x)=0.
2. v3sin(2x)-cos(2x)=0.
3. sin^2(x)-4sin(x)cos(x)+3cos^2(x)=0.
4. 2cos^2(x)+4sin(x)cos(x)=-1.
5. Определите все a, при каждом из которых уравнение
sin^2(x)-3sin(x)cos(x)+a cos^2(x)=0 не имеет решения.
$$2\sin x-3\cos x=0$$
При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos x$$:
$$2\tg x-3=0,$$
$$\tg x=\frac{3}{2}.$$
Тогда
$$x=\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=0$$
При $$\cos 2x\ne 0$$ разделим на $$\cos 2x$$:
$$\sqrt{3}\tg 2x-1=0,$$
$$\tg 2x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Следовательно,
$$2x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$
При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x-4\tg x+3=0.$$
Обозначим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-4y+3=0,$$
$$D=16-12=4,$$
$$y_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad y_2=\frac{4+2}{2}=3.$$
Значит,
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 x+4\sin x\cos x=-1$$
Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\sin^2 x$$:
$$2\cos^2 x+4\sin x\cos x+\sin^2 x+\cos^2 x=0,$$
$$\sin^2 x+4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0.$$
При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+4\tg x+3=0.$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2+4y+3=0,$$
$$D=16-12=4,$$
$$y_1=\frac{-4-2}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-4+2}{2}=-1.$$
Следовательно,
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Рассмотрим уравнение
$$\sin^2 x-3\sin x\cos x+a\cos^2 x=0.$$
При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x-3\tg x+a=0.$$
Обозначим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-3y+a=0,$$
чтобы уравнение не имело решений, квадратное уравнение не должно иметь действительных корней:
$$D=9-4a<0.$$
Отсюда
$$a>\frac{9}{4}.$$
Ответ
1) $$x=\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5) $$a\in\left(\frac{9}{4},+\infty\right)$$
