Самостоятельная работа 8 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Докажите формулу суммы $$n$$ первых членов геометрической прогрессии $$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$, $$q\ne1$$, методом математической индукции.
2. Докажите, что $$3^{n+1}+4^{2n-1}$$ делится на $$13$$ для любого натурального числа $$n$$.
3. Докажите, что для любого натурального числа $$n$$ справедливо равенство $$\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{4\cdot6}+\ldots+\frac{1}{2n(2n+2)}=\frac{n}{4n+4}$$.

1. Докажем по индукции формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:
   $$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, \quad q\ne 1.$$

   1) База индукции. При $$n=1$$ имеем

   $$S_1=a_1,$$

   а по формуле

   $$\frac{a_1(1-q)}{1-q}=a_1.$$

   Формула верна при $$n=1$$.

   2) Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ формула верна:

   $$S_k=\frac{a_1(1-q^k)}{1-q}.$$

   Тогда для $$n=k+1$$

   $$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=S_k+a_1q^k.$$

   Подставим предположение индукции:

   $$S_{k+1}=\frac{a_1(1-q^k)}{1-q}+a_1q^k =\frac{a_1(1-q^k)+a_1q^k(1-q)}{1-q} =\frac{a_1(1-q^{k+1})}{1-q}.$$

   Следовательно, формула верна для любого натурального $$n$$.

2. Докажем, что число $$3^{n+1}+4^{2n-1}$$ делится на $$13$$ при любом натуральном $$n$$.

   1) База индукции. При $$n=1$$

   $$3^2+4^1=9+4=13,$$

   значит, делится на $$13$$.

   2) Индукционный переход. Пусть при $$n=k$$ выражение делится на $$13$$:

   $$3^{k+1}+4^{2k-1}\equiv 0 \pmod{13}.$$

   Рассмотрим случай $$n=k+1$$:

   $$3^{k+2}+4^{2k+1} =3\cdot 3^{k+1}+16\cdot 4^{2k-1} =3\bigl(3^{k+1}+4^{2k-1}\bigr)+13\cdot 4^{2k-1}.$$

   Первое слагаемое делится на $$13$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$13$$. Значит, всё выражение делится на $$13$$.

   Следовательно, $$3^{n+1}+4^{2n-1}$$ делится на $$13$$ для любого натурального $$n$$.

3. Докажем равенство
   $$\frac1{2\cdot4}+\frac1{4\cdot6}+\cdots+\frac1{2n(2n+2)}=\frac{n}{4n+4}.$$

   1) База индукции. При $$n=1$$

   $$\frac1{2\cdot4}=\frac18,\qquad \frac{1}{4\cdot1+4}=\frac18.$$

   Равенство верно.

   2) Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$

   $$\frac1{2\cdot4}+\frac1{4\cdot6}+\cdots+\frac1{2k(2k+2)}=\frac{k}{4k+4}.$$

   Тогда для $$n=k+1$$

   $$S=\frac{k}{4k+4}+\frac1{(2k+2)(2k+4)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$S=\frac{k(2k+4)+1}{4(k+1)(k+2)} =\frac{2k^2+4k+1}{4(k+1)(k+2)}.$$

   Заметим, что

   $$2k^2+4k+1=(k+1)(2k+1),$$

   поэтому

   $$S=\frac{k+1}{4(k+2)}=\frac{k+1}{4k+8} =\frac{k+1}{4(k+1)+4}.$$

   Значит, равенство верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

1) $$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},\ q\ne1.$$
2) $$3^{n+1}+4^{2n-1}$$ делится на $$13$$ при любом натуральном $$n$$.
3) $$\frac1{2\cdot4}+\frac1{4\cdot6}+\cdots+\frac1{2n(2n+2)}=\frac{n}{4n+4}.$$