Самостоятельная работа 41 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. 2sin^2(?x)-cos(?x)-1=0. 2. sin^4(x)+cos^4(x)+cos(2x)=0,5.
3. cos(2x)+3cos(x)-1=0. 4. cos(1,5?+2x)-cos(x)=0.
5. cos(4x-?/4)cos(x)+sin(4x-?/4)sin(x)=-v2/2.

1. $$2\sin^2(\pi x)-\cos(\pi x)-1=0$$

   $$2(1-\cos^2(\pi x))-\cos(\pi x)-1=0$$

   $$2\cos^2(\pi x)+\cos(\pi x)-1=0$$

   Положим $$y=\cos(\pi x)$$. Тогда

   $$2y^2+y-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12$$

   1) $$\cos(\pi x)=-1$$, значит

   $$\pi x=\pi+2\pi n,\qquad x=1+2n$$

   2) $$\cos(\pi x)=\frac12$$, значит

   $$\pi x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pm\frac13+2n$$

2. $$\sin^4 x+\cos^4 x+\cos 2x=0{,}5$$

   $$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x$$

   $$=1-\frac12\sin^2 2x$$

   Тогда

   $$1-\frac12\sin^2 2x+\cos 2x=\frac12$$

   $$\frac12\cos^2 2x+\cos 2x=0$$

   Положим $$y=\cos 2x$$. Тогда

   $$\frac12y^2+y=0$$

   $$y(y+2)=0$$

   С учётом $$-1\le y\le 1$$ получаем только $$y=0$$.

   $$\cos 2x=0,\qquad 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

3. $$\cos 2x+3\cos x-1=0$$

   $$2\cos^2 x-1+3\cos x-1=0$$

   Положим $$y=\cos x$$. Тогда

   $$2y^2+3y-2=0$$

   $$D=9+16=25$$

   $$y_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12$$

   Так как $$|\cos x|\le 1$$, значение $$y=-2$$ не подходит. Остаётся

   $$\cos x=\frac12$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

4. $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)-\cos x=0$$

   $$\sin 2x-\cos x=0$$

   $$2\sin x\cos x-\cos x=0$$

   $$\cos x(2\sin x-1)=0$$

   1) $$\cos x=0$$, тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   2) $$2\sin x-1=0$$, тогда

   $$\sin x=\frac12$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

5. $$\cos\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)\cos x+\sin\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Используем формулу:

   $$\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B)$$

   Тогда

   $$\cos\left(4x-\frac{\pi}{4}-x\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Пусть $$y=3x-\frac{\pi}{4}$$. Тогда

   $$\cos y=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$y=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   1) $$3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   $$3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$

   2) $$3x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   $$3x=\pi+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$

Ответ

1) $$x=1+2n,\ \ x=\pm\frac13+2n$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

3) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

5) $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$