Самостоятельная работа 40 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. cos(3x+?/6)=-v3/2. 2. sin^2(x)-5sin(x)-6=0.
3. 3cos^2(?x)+4cos(?x)-7=0. 4. tg(x)+4/(3tg(x)+2)+5=0.
5. ctg^3(x)+ctg^2(x)-9ctg(x)-9=0.

1. Положим $$y=3x+\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

   $$\cos y=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Отсюда

   $$y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   1) $$3x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$3x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$

   2) $$3x+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$3x=\pi+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}.$$

2. Положим $$y=\sin x.$$ Тогда

   $$y^2-5y-6=0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(y-6\right)\left(y+1\right)=0.$$

   Получаем $$y=6$$ или $$y=-1.$$

   Так как $$|\sin x|\le 1,$$ значение $$y=6$$ не подходит. Значит,

   $$\sin x=-1,$$

   откуда

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. Положим $$y=\cos x.$$ Тогда

   $$3y^2+4y-7=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-7)=100,$$

   $$y=\frac{-4\pm 10}{6}.$$

   Получаем $$y_1=1,$$ $$y_2=-\frac{7}{3}.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ подходит только $$\cos x=1.$$ Тогда

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

   $$y+\frac{4}{3y+2}+5=0.$$

   Умножим на $$3y+2$$:

   $$y(3y+2)+4+5(3y+2)=0,$$

   $$3y^2+17y+14=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=17^2-4\cdot 3\cdot 14=121,$$

   $$y=\frac{-17\pm 11}{6}.$$

   Получаем $$y_1=-\frac{14}{3},$$ $$y_2=-1.$$

   Значит,

   $$\tg x=-\frac{14}{3} \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$

   Тогда

   $$x=-\arctg\frac{14}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

5. Положим $$y=\ctg x.$$ Тогда

   $$y^3+y^2-9y-9=0.$$

   Сгруппируем:

   $$y^2(y+1)-9(y+1)=0,$$

   $$\left(y^2-9\right)(y+1)=0,$$

   $$\left(y-3\right)\left(y+3\right)(y+1)=0.$$

   Отсюда $$y=-1,$$ $$y=3,$$ $$y=-3.$$

   Значит,

   $$\ctg x=-1,\quad \ctg x=3,\quad \ctg x=-3.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\operatorname{arcctg}3+\pi n,\quad x=-\operatorname{arcctg}3+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

3) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\arctg\frac{14}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

5) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \operatorname{arcctg}3+\pi n,\ -\operatorname{arcctg}3+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$