Самостоятельная работа 39 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) cos(?)=-1; б) sin(?)=v2/2; в) cos(?)=-1/2; г) sin(?)=-v3/2.
2. а) ctg(?)=1; б) tg(?)=-v3; в) ctg(?)=v3/3.
3. а) cos(?)=-1/8; б) sin(?)=1/7; в) ctg(?)=-1/2; г) sin(?)=-?/2.
4. 2v2sin(x)-v2sin(x)cos(x)+cos(x)-2=0.

1. а) $$\cos \alpha=-1$$

   Значение косинуса равно $$-1$$ при

   $$\alpha=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   б) $$\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Отсюда

   $$\alpha=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   в) $$\cos \alpha=-\frac{1}{2}$$

   Тогда

   $$\alpha=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   г) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Следовательно,

   $$\alpha=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. а) $$\operatorname{ctg}\alpha=1$$

   Тогда

   $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   б) $$\operatorname{tg}\alpha=-\sqrt{3}$$

   Отсюда

   $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   в) $$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Так как $$\frac{\sqrt{3}}{3}=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3},$$ получаем

   $$\alpha=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. а) $$\cos \alpha=-\frac{1}{8}$$

   Тогда

   $$\alpha=\pm \arccos\!\left(-\frac{1}{8}\right)+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   б) $$\sin \alpha=\frac{1}{7}$$

   Следовательно,

   $$\alpha=(-1)^n\arcsin\frac{1}{7}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   в) $$\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{1}{2}$$

   Отсюда

   $$\alpha=-\operatorname{arcctg}\frac{1}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   г) $$\sin \alpha=-\frac{\pi}{2}$$

   Так как $$-\frac{\pi}{2}<-1,$$ решений нет.

4. $$2\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\sin x\cos x+\cos x-2=0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$2(\sqrt{2}\sin x-1)-\cos x(\sqrt{2}\sin x-1)=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\left(2-\cos x\right)\left(\sqrt{2}\sin x-1\right)=0.$$

   Так как $$2-\cos x\neq 0$$ при любых $$x,$$ то

   $$\sqrt{2}\sin x-1=0,$$

   $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) а) $$\alpha=\pi+2\pi n$$; б) $$\alpha=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n$$; в) $$\alpha=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$\alpha=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
2) а) $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$; в) $$\alpha=\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
3) а) $$\alpha=\pm \arccos\!\left(-\frac{1}{8}\right)+2\pi n$$; б) $$\alpha=(-1)^n\arcsin\frac{1}{7}+\pi n$$; в) $$\alpha=-\operatorname{arcctg}\frac{1}{2}+\pi n$$; г) решений нет.
4) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$