Контрольная работа 4 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) lg(0,1)-log(3, 1/9)+ln(e^4);
б) (16^log(4, v5-1)+9^log(3, v5+1))log(3, 4)/log(3, 64).
2. Решите уравнение:
а) 27·(4/9)^x-30·(2/3)^x+8=0;
б) log(3, x)+4log(9, x)+6log(27, x)=10.
3. Решите неравенство:
а) (1/2)^(x+2)+3·(1/2)^(x+1)-(1/2)^x < 3; б) (log(3, x))^2+2log(3, x)-3?0. 4*. Докажите числовое равенство log(4, (4v6-10)^2)+log(8, (4v6+10)^3)=2. 5*. Вычислите значение числового выражения (v2)^log(5, 3):(v3)^log(5, 2). 6*. Решите уравнение (2-v3)^x+(2+v3)^x-2=0. 7*. Некоторое число деталей токарь должен обточить к намеченному сроку. За 4 ч он выполнил две трети задания, а остальные детали обточил его ученик, который обтачивал на 5 деталей в час меньше, чем токарь. В результате задание было выполнено на 1 ч 15 мин позже намеченного срока. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе?

1. а)

   $$\lg 0{,}1-\log_3 \frac{1}{9}+\ln e^4=\lg 10^{-1}-\log_3 3^{-2}+4=-1-(-2)+4=5.$$

   б)

   $$\frac{\left(16^{\log_4(\sqrt5-1)}+9^{\log_3(\sqrt5+1)}\right)\log_3 4}{\log_3 64}$$
   $$=\frac{\left((\sqrt5-1)^2+(\sqrt5+1)^2\right)\log_3 4}{\log_3 64}$$
   $$=\frac{(5-2\sqrt5+1+5+2\sqrt5+1)\log_3 4}{\log_3 64}$$
   $$=\frac{12\log_3 4}{\log_3 64}=\frac{12\log_4 4}{\log_4 64}=12\cdot\frac{1}{3}=4.$$

2. а)

   $$27\left(\frac49\right)^x-30\left(\frac23\right)^x+8=0.$$

   Положим $$y=\left(\frac23\right)^x$$. Тогда

   $$27y^2-30y+8=0.$$

   $$D=30^2-4\cdot 27\cdot 8=900-864=36.$$

   $$y_1=\frac{30-6}{2\cdot 27}=\frac49,\qquad y_2=\frac{30+6}{2\cdot 27}=\frac23.$$

   $$\left(\frac23\right)^x=\frac49=\left(\frac23\right)^2 \Rightarrow x=2,$$
   $$\left(\frac23\right)^x=\frac23=\left(\frac23\right)^1 \Rightarrow x=1.$$

   б)

   $$\log_3 x+4\log_9 x+6\log_{27} x=10.$$

   $$\log_9 x=\frac12\log_3 x,\qquad \log_{27} x=\frac13\log_3 x.$$

   $$\log_3 x+4\cdot\frac12\log_3 x+6\cdot\frac13\log_3 x=10,$$
   $$\log_3 x+2\log_3 x+2\log_3 x=10,$$
   $$5\log_3 x=10,$$
   $$\log_3 x=2,$$
   $$x=3^2=9.$$

3. а)

   $$\left(\frac12\right)^{x+2}+3\left(\frac12\right)^{x+1}-\left(\frac12\right)^x<3.$$

   $$\frac14\left(\frac12\right)^x+\frac32\left(\frac12\right)^x-\left(\frac12\right)^x<3,$$
   $$\frac34\left(\frac12\right)^x<3,$$
   $$\left(\frac12\right)^x<4=\left(\frac12\right)^{-2}.$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, то

   $$x>-2.$$

   б)

   $$(\log_3 x)^2+2\log_3 x-3\le 0.$$

   Положим $$y=\log_3 x$$. Тогда

   $$y^2+2y-3\le 0,$$
   $$(y+3)(y-1)\le 0,$$
   $$-3\le y\le 1.$$

   $$-3\le \log_3 x\le 1,$$
   $$3^{-3}\le x\le 3^1,$$
   $$\frac1{27}\le x\le 3.$$

4. $$\log_4(4\sqrt6-10)^2+\log_8(4\sqrt6+10)^3=2.$$

   $$\log_{2^2}(4\sqrt6-10)^2+\log_{2^3}(4\sqrt6+10)^3=2,$$
   $$\log_2|4\sqrt6-10|+\log_2|4\sqrt6+10|=2,$$
   $$\log_2\bigl(|4\sqrt6-10|\cdot|4\sqrt6+10|\bigr)=2.$$

   $$|4\sqrt6-10|\cdot|4\sqrt6+10|=|100-96|=4,$$
   $$\log_2 4=2.$$

5. $$A=(\sqrt2)^{\log_5 3}:(\sqrt3)^{\log_5 2}.$$

   $$A=2^{\frac12\log_5 3}:3^{\frac12\log_5 2}=\left(2^{\log_5 3}:3^{\log_5 2}\right)^{\frac12}.$$

   $$2^{\log_5 3}=3^{\log_5 2},$$
   значит
   $$A=1.$$

6. $$(2-\sqrt3)^x+(2+\sqrt3)^x-2=0.$$

   Положим $$y=(2-\sqrt3)^x$$. Тогда

   $$2+\sqrt3=\frac1{2-\sqrt3},\qquad (2+\sqrt3)^x=\frac1y.$$

   $$y+\frac1y-2=0,$$
   $$y^2-2y+1=0,$$
   $$(y-1)^2=0,$$
   $$y=1.$$

   $$(2-\sqrt3)^x=1 \Rightarrow x=0.$$

7. Пусть $$x$$ — производительность токаря, $$y$$ — объём задания.

   За 4 ч токарь выполнил $$\frac23 y$$, значит весь заказ он должен был выполнить за
   $$4:\frac23=6$$ ч, а оставшуюся треть — за $$6-4=2$$ ч.

   Тогда производительность ученика равна $$\frac{y}{2}$$, а по условию она на 5 деталей в час меньше:
   $$\frac{y}{2}=x-5.$$

   Так как токарь выполнил $$\frac23 y$$ за 4 ч, то
   $$x=\frac{\frac23 y}{4}=\frac{y}{6}.$$

   Подставим:
   $$\frac{y}{2}=\frac{y}{6}-5.$$

   $$3y=y-30,$$
   $$2y=-30,$$
   $$y=78.$$

Ответ

1. а) $$5$$; б) $$4$$.
2. а) $$x=1,\,2$$; б) $$x=9$$.
3. а) $$(-2;+\infty)$$; б) $$\left[\frac1{27};3\right]$$.
4. $$2$$.
5. $$1$$.
6. $$0$$.
7. $$78$$ шт.