Самостоятельная работа 38 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Определите промежутки убывания функции y=ctg(3x).
3. Докажите четность (или нечетность) функции y=cos(7x)+cos(3x).
4. Определите главный период функции f(x)=cos(3x)cos(2x)+sin(2x)sin(3x).
5. Определите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=12cos^2(22x)+10sin^2(22x).
6. Постройте график функции f(x)=sin(2x)/(2|cos(x)|).

1. Функция $$y=\ctg x$$ не определена при $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$. На каждом промежутке $$\pi n<x<\pi(n+1)$$ её график убывает от $$+\infty$$ до $$-\infty$$ и имеет вертикальные асимптоты $$x=\pi n$$.

2. Для функции $$y=\ctg(3x)$$ аргумент $$3x$$ должен пробегать промежутки убывания функции $$\ctg t$$:

   $$\pi n<3x<\pi+\pi n.$$

   Делим на $$3$$:

   $$\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. Проверим чётность функции $$y=\cos(7x)+\cos(3x)$$:

   $$y(-x)=\cos(-7x)+\cos(-3x)=\cos(7x)+\cos(3x)=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

4. Найдём главный период функции

   $$f(x)=\cos(3x)\cos(2x)+\sin(2x)\sin(3x).$$

   По формуле

   $$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$

   получаем:

   $$f(x)=\cos(3x-2x)=\cos x.$$

   Главный период функции $$\cos x$$ равен $$2\pi$$.

5. Рассмотрим функцию

   $$f(x)=12\cos^2(22x)+10\sin^2(22x).$$

   Преобразуем:

   $$f(x)=12\bigl(1-\sin^2(22x)\bigr)+10\sin^2(22x)=12-2\sin^2(22x).$$

   Так как $$0\le \sin^2(22x)\le 1$$, то

   $$10\le 12-2\sin^2(22x)\le 12.$$

   Значит, наибольшее значение функции равно $$12$$, наименьшее — $$10$$.

6. Преобразуем функцию

   $$f(x)=\frac{\sin 2x}{2|\cos x|}=\frac{2\sin x\cos x}{2|\cos x|}=\sin x\cdot \frac{\cos x}{|\cos x|}.$$

   Если $$\cos x>0$$, то $$\frac{\cos x}{|\cos x|}=1$$ и $$f(x)=\sin x$$.

   Если $$\cos x<0$$, то $$\frac{\cos x}{|\cos x|}=-1$$ и $$f(x)=-\sin x$$.

   Функция не определена при $$\cos x=0$$, то есть при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, график состоит из участков графика $$y=\sin x$$ там, где $$\cos x>0$$, и участков графика $$y=-\sin x$$ там, где $$\cos x<0$$, с выколотыми точками при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.

Ответ

1) График $$y=\ctg x$$ имеет период $$\pi$$, вертикальные асимптоты $$x=\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$, и убывает на каждом промежутке $$\pi n<x<\pi(n+1)$$.

2) $$\left(\frac{\pi n}{3},\;\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right),\; n\in\mathbb Z.$$

3) Функция чётная.

4) $$2\pi.$$

5) Наибольшее значение: $$12$$, наименьшее значение: $$10$$.

6) $$f(x)=\sin x$$ при $$\cos x>0$$, $$f(x)=-\sin x$$ при $$\cos x<0$$, $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$