Самостоятельная работа 37 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) (tg(92°)-tg(32°))/(1+tg(92°)tg(32°));
б) (tg(11°)+tg(19°))/(1-tg(11°)tg(19°)).
3. Докажите равенство
(tg(6?)-tg(4?))/(1+tg(6?)tg(4?))+(tg(4?)-tg(2?))/(1+tg(4?)tg(2?))=2tg(2?)
для тех ?, для которых определены обе его части.
4. Вычислите tg(4?), если tg(?)=1/6.
5. Вычислите tg(3?/8).

1. Используем формулы:

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.$$

   При $$\tg\alpha=\frac13$$ и $$\tg\beta=\frac15$$ получаем:

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac13+\frac15}{1-\frac13\cdot\frac15}=\frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}}=\frac47,$$

   $$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\frac13-\frac15}{1+\frac13\cdot\frac15}=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{16}{15}}=\frac18.$$

2. а)

   $$\frac{\tg 92^\circ-\tg 32^\circ}{1+\tg 92^\circ \tg 32^\circ}=\tg(92^\circ-32^\circ)=\tg 60^\circ=\sqrt{3}.$$

   б)

   $$\frac{\tg 11^\circ+\tg 19^\circ}{1-\tg 11^\circ \tg 19^\circ}=\tg(11^\circ+19^\circ)=\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

3. Преобразуем каждую дробь по формуле тангенса суммы:

   $$\frac{\tg 6\alpha-\tg 4\alpha}{1+\tg 6\alpha \tg 4\alpha}=\tg(6\alpha-4\alpha)=\tg 2\alpha,$$

   $$\frac{\tg 4\alpha-\tg 2\alpha}{1+\tg 4\alpha \tg 2\alpha}=\tg(4\alpha-2\alpha)=\tg 2\alpha.$$

   Тогда левая часть равенства равна

   $$\tg 2\alpha+\tg 2\alpha=2\tg 2\alpha.$$

4. Используем формулу:

   $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$

   При $$\tg\alpha=\frac16$$ имеем:

   $$\tg 2\alpha=\frac{2\cdot \frac16}{1-\left(\frac16\right)^2}=\frac{\frac13}{1-\frac1{36}}=\frac{\frac13}{\frac{35}{36}}=\frac{12}{35}.$$

   Теперь найдём $$\tg 4\alpha$$:

   $$\tg 4\alpha=\frac{2\tg 2\alpha}{1-\tg^2 2\alpha}=\frac{2\cdot \frac{12}{35}}{1-\left(\frac{12}{35}\right)^2}=\frac{\frac{24}{35}}{1-\frac{144}{1225}}=\frac{\frac{24}{35}}{\frac{1081}{1225}}=\frac{840}{1081}.$$

5. Используем формулу половинного угла:

   $$\tg\frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{3\pi}{4}}{1+\cos\frac{3\pi}{4}}}.$$

   Так как $$\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$ то

   $$\tg\frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}.$$

   Рационализуем знаменатель под корнем:

   $$\tg\frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})^2}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}} =\sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})^2}{2}} =\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}+1.$$

Ответ

1) $$\frac47,\ \frac18$$; 2) а) $$\sqrt3$$, б) $$\frac{\sqrt3}{3}$$; 3) $$\frac{\tg 6\alpha-\tg 4\alpha}{1+\tg 6\alpha \tg 4\alpha}+\frac{\tg 4\alpha-\tg 2\alpha}{1+\tg 4\alpha \tg 2\alpha}=2\tg 2\alpha$$; 4) $$\frac{840}{1081}$$; 5) $$\sqrt2+1$$.