Самостоятельная работа 43 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

Решите неравенство (1—4).

1. а) $$\sin x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\cos x>\frac{\sqrt{3}}{2}$$; в) $$\operatorname{tg}x<\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
2. а) $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)?\frac{\sqrt{2}}{2}$$; б) $$\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)?-\frac{1}{2}$$.
3. $$4\sin^2x+(2\sqrt{2}-2)\cos x>4-\sqrt{2}$$.
4. Определите все $$a$$, при каждом из которых неравенство $$5\sin x-12\cos x?a+1$$ не имеет решений.

1. а) $$\sin x>-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Значения синуса больше $$-\frac{\sqrt3}{2}$$ на промежутке

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\cos x>\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\tg x<\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Так как $$\frac{\sqrt3}{3}=\tg\frac{\pi}{6},$$ то

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. а) $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\ge \frac{\sqrt2}{2}.$$

   Положим $$y=3x-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

   $$\sin y\ge \frac{\sqrt2}{2},$$

   откуда

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le y\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le 3x-\frac{\pi}{4}\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 3x\le \pi+2\pi n,$$

   $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

5. б) $$\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)\le -\frac12.$$

   Положим $$y=2x+\frac{2\pi}{3}.$$ Тогда

   $$\cos y\le -\frac12,$$

   значит

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le y\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 2x+\frac{2\pi}{3}\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$2\pi n\le 2x\le \pi+2\pi n,$$

   $$\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. 3. $$4\sin^2 x+(2\sqrt2-2)\cos x>4-\sqrt2.$$

   Положим $$y=\cos x.$$ Тогда $$\sin^2 x=1-y^2,$$ и неравенство принимает вид

   $$4(1-y^2)+(2\sqrt2-2)y>4-\sqrt2,$$

   $$4y^2-(2\sqrt2-2)y-\sqrt2<0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=(2\sqrt2-2)^2+16\sqrt2=(2\sqrt2+2)^2,$$

   $$y_1=\frac{(2\sqrt2-2)-(2\sqrt2+2)}{8}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{(2\sqrt2-2)+(2\sqrt2+2)}{8}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Так как коэффициент при $$y^2$$ положителен, то

   $$-\frac12<y<\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$-\frac12<\cos x<\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. 4. $$5\sin x-12\cos x\le a+1.$$

   Представим левую часть в виде одной синусоиды:

   $$\sqrt{5^2+12^2}=13,$$

   поэтому

   $$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-t),$$

   где $$\cos t=\frac{5}{13},\ \sin t=\frac{12}{13}.$$

   Тогда неравенство равносильно

   $$13\sin(x-t)\le a+1.$$

   Чтобы решений не было, правая часть должна быть меньше минимального значения левой части:

   $$\frac{a+1}{13}<-1.$$

   Отсюда

   $$a+1<-13,\qquad a<-14.$$

Ответ

1) а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

2) а) $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

3) $$\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$a<-14.$$