Самостоятельная работа 36 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) sin(32°)cos(13°);
б) cos(41°)cos(11°);
в) sin(41°)sin(16°).
2. Вычислите:
а) sin(25°)cos(5°)+sin(20°)cos(40°);
б) cos(5?/24)cos(?/8)-sin(?/8)sin(?/24).
Используем формулы произведения тригонометрических функций:
$$\sin \alpha \cos \beta=\frac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr),$$
$$\cos \alpha \cos \beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr),$$
$$\sin \alpha \sin \beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr).$$
а)
$$\sin 32^\circ \cos 13^\circ=\frac12\bigl(\sin 45^\circ+\sin 19^\circ\bigr)=\frac{\sqrt2}{4}+\frac12\sin 19^\circ.$$
б)
$$\cos 41^\circ \cos 11^\circ=\frac12\bigl(\cos 52^\circ+\cos 30^\circ\bigr)=\frac12\cos 52^\circ+\frac{\sqrt3}{4}.$$
в)
$$\sin 41^\circ \sin 16^\circ=\frac12\bigl(\cos 25^\circ-\cos 57^\circ\bigr)=\frac12\cos 25^\circ-\frac12\cos 57^\circ.$$
Вычислим значения.
а)
$$\sin 25^\circ \cos 5^\circ+\sin 20^\circ \cos 40^\circ$$
$$=\frac12\bigl(\sin 30^\circ+\sin 20^\circ\bigr)+\frac12\bigl(\sin 60^\circ-\sin 20^\circ\bigr)$$
$$=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1+\sqrt3}{4}.$$
б)
$$\cos \frac{5\pi}{24}\cos \frac{\pi}{8}-\sin \frac{\pi}{8}\sin \frac{\pi}{24}$$
$$=\frac12\left(\cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{12}\right)-\frac12\left(\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{6}\right)$$
$$=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1+\sqrt3}{4}.$$
Ответ
1) а) $$\frac{\sqrt2}{4}+\frac12\sin 19^\circ$$; б) $$\frac12\cos 52^\circ+\frac{\sqrt3}{4}$$; в) $$\frac12\cos 25^\circ-\frac12\cos 57^\circ$$.
2) а) $$\frac{1+\sqrt3}{4}$$; б) $$\frac{1+\sqrt3}{4}$$.
