Самостоятельная работа 35 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) 2sin(5?/12)cos(5?/12);
б) (cos(7?/12)-sin(7?/12))(cos(7?/12)+sin(7?/12)).
2. Вычислите sin(2?) и cos(2?), если cos(?)=-5/13 и ? < ? < 3?/2. 3. Докажите равенство ctg(2?)=(ctg^2(?)-1)/(2ctg(?)), если ???n/2, n?Z. 4. Вычислите: a) sin(67°30'); б) cos(75°). 5. Вычислите sin(?/2) и cos(?/2), если cos(?)=-1/18, ? < ? < 3?/2.

1. $$2\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}=\sin\frac{10\pi}{12}=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12.$$

   $$\left(\cos\frac{7\pi}{12}-\sin\frac{7\pi}{12}\right)\left(\cos\frac{7\pi}{12}+\sin\frac{7\pi}{12}\right)=\cos^2\frac{7\pi}{12}-\sin^2\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

2. $$\cos\alpha=-\frac{5}{13}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Так как угол $\alpha$ лежит в III четверти, то $$\sin\alpha<0.$$

   $$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{120}{169},$$

   $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{25}{169}-\frac{144}{169}=-\frac{119}{169}.$$

3. $$\ctg2\alpha=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}.$$

   Разделим числитель и знаменатель на $$\sin^2\alpha$$:

   $$\ctg2\alpha=\frac{\ctg^2\alpha-1}{2\ctg\alpha}.$$

4. $$\sin67^\circ30’=\sqrt{\frac{1-\cos135^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

   $$\cos75^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos150^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$

5. $$\cos\alpha=-\frac{1}{18}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Тогда $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right),$$ значит $$\sin\frac{\alpha}{2}>0,\quad \cos\frac{\alpha}{2}<0.$$

   $$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{18}}{2}}=-\sqrt{\frac{17}{36}}=-\frac{\sqrt{17}}{6},$$

   $$\sin\frac{\alpha}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=+\sqrt{\frac{1+\frac{1}{18}}{2}}=+\sqrt{\frac{19}{36}}=\frac{\sqrt{19}}{6}.$$

Ответ

1) $$\frac12$$; $$-\frac{\sqrt3}{2}$$. 2) $$\sin2\alpha=\frac{120}{169},\ \cos2\alpha=-\frac{119}{169}$$. 3) $$\ctg2\alpha=\frac{\ctg^2\alpha-1}{2\ctg\alpha}$$. 4) $$\sin67^\circ30’=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2},\ \cos75^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$$. 5) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{19}}{6},\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{6}$$.