Самостоятельная работа 34 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(130°)+sin(10°); б) sin(130°)-sin(10°);
в) cos(130°)+cos(10°); г) cos(130°)-cos(10°).
2. Докажите равенство cos(160°)-cos(40°)=v3cos(10°).
3. Вычислите sin(13?/42)-sin(?/42)+cos(10?/21)-cos(4?/21).
4. Запишите в виде произведения cos(105°)+cos(100°)+cos(95°).
5. Докажите равенство 2sin(70°)-v3/(2sin(80°))=1.

1. Используем формулы приведения к произведению:

   $$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
   $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
   $$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

   а) $$\sin130^\circ+\sin10^\circ=2\sin70^\circ\cos60^\circ=\sin70^\circ;$$

   б) $$\sin130^\circ-\sin10^\circ=2\cos70^\circ\sin60^\circ=\sqrt3\cos70^\circ;$$

   в) $$\cos130^\circ+\cos10^\circ=2\cos70^\circ\cos60^\circ=\cos70^\circ;$$

   г) $$\cos130^\circ-\cos10^\circ=-2\sin70^\circ\sin60^\circ=-\sqrt3\sin70^\circ.$$

2. $$\cos160^\circ-\cos40^\circ=-2\sin\frac{160^\circ+40^\circ}{2}\sin\frac{160^\circ-40^\circ}{2}$$
   $$=-2\sin100^\circ\sin60^\circ$$
   $$=-2\cdot \sin100^\circ\cdot \frac{\sqrt3}{2}=-\sqrt3\sin100^\circ.$$

   Так как $$\sin100^\circ=\cos10^\circ,$$ то

   $$\cos160^\circ-\cos40^\circ=-\sqrt3\cos10^\circ.$$

3. Обозначим
   $$A=\sin\frac{13\pi}{42}-\sin\frac{\pi}{42}+\cos\frac{10\pi}{21}-\cos\frac{4\pi}{21}.$$

   $$\sin\frac{13\pi}{42}-\sin\frac{\pi}{42}=2\cos\frac{7\pi}{42}\sin\frac{12\pi}{42} =2\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{2\pi}{7},$$

   $$\cos\frac{10\pi}{21}-\cos\frac{4\pi}{21} =-2\sin\frac{14\pi}{42}\sin\frac{6\pi}{42} =-2\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{7}.$$

   Тогда
   $$A=2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{6}-2\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{7}$$
   $$=2\sin\frac{\pi}{7}\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\right)=0.$$

4. $$B=\cos105^\circ+\cos100^\circ+\cos95^\circ.$$

   Сгруппируем первые и третьи слагаемые:
   $$\cos105^\circ+\cos95^\circ=2\cos100^\circ\cos5^\circ.$$

   Тогда
   $$B=2\cos100^\circ\cos5^\circ+\cos100^\circ$$
   $$=\cos100^\circ(2\cos5^\circ+1).$$

   Так как $$1=2\cos60^\circ,$$ то
   $$B=2\cos100^\circ(\cos5^\circ+\cos60^\circ).$$

   Применим формулу суммы косинусов:
   $$\cos5^\circ+\cos60^\circ=2\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}.$$

   Следовательно,
   $$B=4\cos100^\circ\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}.$$

5. $$2\sin70^\circ-\frac{\sqrt3}{2\sin80^\circ}=1.$$

   Умножим обе части на $$2\sin80^\circ$$:
   $$4\sin70^\circ\sin80^\circ-\sqrt3=2\sin80^\circ.$$

   Перенесём:
   $$4\sin70^\circ\sin80^\circ-2\sin80^\circ=\sqrt3.$$

   Вынесем $$2\sin80^\circ$$:
   $$2\sin80^\circ(2\sin70^\circ-1)=\sqrt3.$$

   Используем $$\sin80^\circ=\cos10^\circ$$ и формулу
   $$2\sin70^\circ\cos10^\circ=\sin80^\circ+\sin60^\circ,$$
   тогда
   $$2\sin70^\circ\cos10^\circ=\sin80^\circ+\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда
   $$2\sin70^\circ-\frac{\sqrt3}{2\sin80^\circ}=1.$$

Ответ

1) а) $$\sin70^\circ$$; б) $$\sqrt3\cos70^\circ$$; в) $$\cos70^\circ$$; г) $$-\sqrt3\sin70^\circ$$.
2) $$\cos160^\circ-\cos40^\circ=-\sqrt3\cos10^\circ$$.
3) $$0$$.
4) $$4\cos100^\circ\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}$$.
5) равенство верно.