Самостоятельная работа 33 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) cos(9?/2+?); б) sin(5?+?); в) cos(-?/2-?).
2. Вычислите 5sin(13?/2+?)-4cos(19?-?), если cos(?)=-0,3.
3. Вычислите (2sin(3?/2+?)-3cos(?+?))/(3sin(?-?)-2cos(?/2-?)), если ctg(?)=4.
4. Докажите равенство (5cos(20°)-4sin(110°))/cos(340°)=1.

1. Используем формулы приведения:

   $$\cos\left(\frac{9\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,$$
   $$\sin(5\pi+\alpha)=\sin(3\pi+\alpha)=-\sin\alpha,$$
   $$\cos\left(-\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha.$$

2. Вычислим значение выражения

   $$A=5\sin\left(\frac{13\pi}{2}+\alpha\right)-4\cos(19\pi-\alpha).$$

   $$A=5\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-4\cos(\pi-\alpha).$$

   $$A=5\cos\alpha+4\cos\alpha=9\cos\alpha.$$

   Так как $$\cos\alpha=-0{,}3,$$ то

   $$A=9\cdot(-0{,}3)=-2{,}7.$$

3. Вычислим значение выражения

   $$B=\frac{2\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)-3\cos(\pi+\alpha)}{3\sin(\pi-\alpha)-2\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}.$$

   $$B=\frac{2(-\cos\alpha)-3(-\cos\alpha)}{3\sin\alpha-2\sin\alpha}.$$

   $$B=\frac{-2\cos\alpha+3\cos\alpha}{3\sin\alpha-2\sin\alpha} =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\ctg\alpha.$$

   Так как $$\ctg\alpha=4,$$ то $$B=4.$$

4. Докажем равенство:

   $$\frac{5\cos 20^\circ-4\sin 110^\circ}{\cos 340^\circ}=1.$$

   $$\sin 110^\circ=\sin(90^\circ+20^\circ)=\cos 20^\circ,$$
   $$\cos 340^\circ=\cos(360^\circ-20^\circ)=\cos 20^\circ.$$

   Тогда
   $$\frac{5\cos 20^\circ-4\sin 110^\circ}{\cos 340^\circ} =\frac{5\cos 20^\circ-4\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} =\frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ}=1.$$

Ответ

1) $$-\sin\alpha;$$ $$-\sin\alpha;$$ $$-\sin\alpha.$$
2) $$-2{,}7.$$
3) $$4.$$
4) $$1.$$