Самостоятельная работа 4 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) Сократите дробь $$\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^3-2x^2-9x+18}$$.
   б) Найдите значение полученной дроби при $$x=2$$.
2. а) Запишите в виде дроби выражение $$\frac{1}{(x+10)(x+11)}+\frac{1}{(x+11)(x+12)}+\ldots+\frac{1}{(x+20)(x+21)}$$.
   б) Найдите значение полученной дроби при $$x=-11$$.
3. Упростите выражение $$\left(\frac{1+8y^3}{1-2y+4y^2}+\frac{8-y^3}{4y+2y^2+y^3}\right):\left(\frac{8+y^3}{4y-2y^2+y^3}-\frac{1-8y^3}{1+2y+4y^2}\right)$$.

1. Сократим дробь:

   $$\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^3-2x^2-9x+18}$$

   Разложим числитель и знаменатель на множители:

   $$x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x+1)(x+3)$$

   $$x^3-2x^2-9x+18=(x-2)(x-3)(x+3)$$

   Тогда

   $$\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^3-2x^2-9x+18} = \frac{(x-2)(x+1)(x+3)}{(x-2)(x-3)(x+3)} = \frac{x+1}{x-3}.$$

   При $$x=2$$:

   $$\frac{x+1}{x-3}=\frac{2+1}{2-3}=-3.$$

2. Преобразуем сумму:

   $$\frac{1}{(x+10)(x+11)}+\frac{1}{(x+11)(x+12)}+\cdots+\frac{1}{(x+20)(x+21)}.$$

   Представим каждый член в виде разности дробей:

   $$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}.$$

   Тогда

   $$\left(\frac{1}{x+10}-\frac{1}{x+11}\right)+ \left(\frac{1}{x+11}-\frac{1}{x+12}\right)+\cdots+ \left(\frac{1}{x+20}-\frac{1}{x+21}\right) = \frac{1}{x+10}-\frac{1}{x+21}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{x+10}-\frac{1}{x+21} = \frac{x+21-(x+10)}{(x+10)(x+21)} = \frac{11}{(x+10)(x+21)}.$$

   При $$x=-11$$:

   $$\frac{11}{(10)(21-11)}=\frac{11}{10\cdot 10}=\frac{11}{100}.$$

3. Упростим выражение:

   $$\left(\frac{1+8y^3}{1-2y+4y^2}+\frac{8-y^3}{4y+2y^2+y^3}\right): \left(\frac{8+y^3}{4y-2y^2+y^3}-\frac{1-8y^3}{1+2y+4y^2}\right).$$

   Разложим на множители:

   $$1+8y^3=(1+2y)(1-2y+4y^2), \qquad 8-y^3=(2-y)(4+2y+y^2),$$

   $$8+y^3=(2+y)(4-2y+y^2), \qquad 1-8y^3=(1-2y)(1+2y+4y^2).$$

   После сокращения получаем:

   $$\left((1+2y)+\frac{2-y}{y}\right): \left(\frac{2+y}{y}-(1-2y)\right).$$

   Упростим скобки:

   $$(1+2y)+\frac{2-y}{y}=\frac{y+2y^2+2-y}{y}=\frac{2y^2+2}{y},$$

   $$\frac{2+y}{y}-(1-2y)=\frac{2+y-y+2y^2}{y}=\frac{2y^2+2}{y}.$$

   Тогда

   $$\frac{2y^2+2}{y}:\frac{2y^2+2}{y}=1.$$

Ответ

1) $$\frac{x+1}{x-3}$$, при $$x=2$$ значение равно $$-3$$;
2) $$\frac{11}{(x+10)(x+21)}$$, при $$x=-11$$ значение равно $$\frac{11}{100}$$;
3) $$1$$.