Самостоятельная работа 31 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) arctg(-v3); б) arctg(v3/3);
в) arcctg(0); г) arcctg(v3).
3. Вычислите:
а) tg(arcctg(13/17)); б) ctg(arctg(-12/11));
в) sin(arctg(-8/15)); г) cos(arcctg(5/12)).
4. Вычислите cos(arcctg(?)).

1. Для углов вида $$\arctg x$$ и $$\arcctg x$$ используем определения:

   $$\tg(\arctg x)=x,\qquad \ctg(\arcctg x)=x.$$

   Тогда:

   $$\alpha=\arctg\frac13,\quad \tg\alpha=\frac13,\quad \ctg\alpha=3;$$
   $$\beta=\arctg\left(-\frac43\right),\quad \tg\beta=-\frac43,\quad \ctg\beta=-\frac34;$$
   $$\varphi=\arcctg\left(-\frac13\right),\quad \tg\varphi=-3,\quad \ctg\varphi=-\frac13;$$
   $$\gamma=\arcctg\frac43,\quad \tg\gamma=\frac34,\quad \ctg\gamma=\frac43.$$

2. Вычислим значения:

   $$\arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3};$$
   $$\arctg\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{\pi}{6};$$
   $$\arcctg 0=\frac{\pi}{2};$$
   $$\arcctg(\sqrt3)=\frac{\pi}{6}.$$

3. а)

   $$\tg\left(\arcctg\frac{13}{17}\right)=\frac{1}{\ctg\left(\arcctg\frac{13}{17}\right)}=\frac{1}{13/17}=\frac{17}{13}.$$

   б)

   $$\ctg\left(\arctg\left(-\frac{12}{11}\right)\right)=\frac{1}{\tg\left(\arctg\left(-\frac{12}{11}\right)\right)}=\frac{1}{-12/11}=-\frac{11}{12}.$$

   в)

   Пусть $$\alpha=\arctg\left(-\frac{8}{15}\right).$$ Тогда
   $$\tg\alpha=-\frac{8}{15},$$
   а так как $$\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то
   $$\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2\alpha}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{64}{225}}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}.$$
   Следовательно,
   $$\sin\left(\arctg\left(-\frac{8}{15}\right)\right)=\tg\alpha\cdot\cos\alpha=-\frac{8}{15}\cdot\frac{15}{17}=-\frac{8}{17}.$$

   г)

   Пусть $$\alpha=\arcctg\frac{5}{12}.$$ Тогда
   $$\ctg\alpha=\frac{5}{12},$$
   а значит
   $$\sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2\alpha}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{25}{144}}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$
   Поэтому
   $$\cos\left(\arcctg\frac{5}{12}\right)=\ctg\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{5}{12}\cdot\frac{12}{13}=\frac{5}{13}.$$

4. Пусть $$\alpha$$ — заданный угол. Тогда

   $$\cos(\arcctg\alpha)=\sin\beta\cdot\ctg\beta,$$
   где $$\beta=\arcctg\alpha.$$

   Так как

   $$\sin(\arcctg\alpha)=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2(\arcctg\alpha)}}=\sqrt{\frac{1}{1+\alpha^2}},$$

   то

   $$\cos(\arcctg\alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}.$$

Ответ

1) $$\tg\alpha=\frac13,\ \ctg\alpha=3;\ \tg\beta=-\frac43,\ \ctg\beta=-\frac34;\ \tg\varphi=-3,\ \ctg\varphi=-\frac13;\ \tg\gamma=\frac34,\ \ctg\gamma=\frac43.$$
2) $$-\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{6}.$$
3) $$\frac{17}{13};\ -\frac{11}{12};\ -\frac{8}{17};\ \frac{5}{13}.$$
4) $$\frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}.$$