Самостоятельная работа 37 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите $$\operatorname{tg}(?+?)$$ и $$\operatorname{tg}(?-?)$$, если $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{3}$$, $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{5}$$.
- Вычислите:
а) $$\frac{\operatorname{tg}(92^\circ)-\operatorname{tg}(32^\circ)}{1+\operatorname{tg}(92^\circ)\operatorname{tg}(32^\circ)}$$;
б) $$\frac{\operatorname{tg}(11^\circ)+\operatorname{tg}(19^\circ)}{1-\operatorname{tg}(11^\circ)\operatorname{tg}(19^\circ)}$$. - Докажите равенство $$\frac{\operatorname{tg}(6?)-\operatorname{tg}(4?)}{1+\operatorname{tg}(6?)\operatorname{tg}(4?)}+\frac{\operatorname{tg}(4?)-\operatorname{tg}(2?)}{1+\operatorname{tg}(4?)\operatorname{tg}(2?)}=2\operatorname{tg}(2?)$$ для тех $$?$$, для которых определены обе его части.
- Вычислите $$\operatorname{tg}(4?)$$, если $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{6}$$.
- Вычислите $$\operatorname{tg}\left(\frac{3?}{8}\right)$$.
Используем формулы:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.$$
При $$\tg\alpha=\frac13$$ и $$\tg\beta=\frac15$$ получаем:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac13+\frac15}{1-\frac13\cdot\frac15}=\frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}}=\frac47,$$
$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\frac13-\frac15}{1+\frac13\cdot\frac15}=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{16}{15}}=\frac18.$$
а)
$$\frac{\tg 92^\circ-\tg 32^\circ}{1+\tg 92^\circ \tg 32^\circ}=\tg(92^\circ-32^\circ)=\tg 60^\circ=\sqrt{3}.$$
б)
$$\frac{\tg 11^\circ+\tg 19^\circ}{1-\tg 11^\circ \tg 19^\circ}=\tg(11^\circ+19^\circ)=\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Преобразуем каждую дробь по формуле тангенса суммы:
$$\frac{\tg 6\alpha-\tg 4\alpha}{1+\tg 6\alpha \tg 4\alpha}=\tg(6\alpha-4\alpha)=\tg 2\alpha,$$
$$\frac{\tg 4\alpha-\tg 2\alpha}{1+\tg 4\alpha \tg 2\alpha}=\tg(4\alpha-2\alpha)=\tg 2\alpha.$$
Тогда левая часть равенства равна
$$\tg 2\alpha+\tg 2\alpha=2\tg 2\alpha.$$
Используем формулу:
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$
При $$\tg\alpha=\frac16$$ имеем:
$$\tg 2\alpha=\frac{2\cdot \frac16}{1-\left(\frac16\right)^2}=\frac{\frac13}{1-\frac1{36}}=\frac{\frac13}{\frac{35}{36}}=\frac{12}{35}.$$
Теперь найдём $$\tg 4\alpha$$:
$$\tg 4\alpha=\frac{2\tg 2\alpha}{1-\tg^2 2\alpha}=\frac{2\cdot \frac{12}{35}}{1-\left(\frac{12}{35}\right)^2}=\frac{\frac{24}{35}}{1-\frac{144}{1225}}=\frac{\frac{24}{35}}{\frac{1081}{1225}}=\frac{840}{1081}.$$
Используем формулу половинного угла:
$$\tg\frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{3\pi}{4}}{1+\cos\frac{3\pi}{4}}}.$$
Так как $$\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$ то
$$\tg\frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}.$$
Рационализуем знаменатель под корнем:
$$\tg\frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})^2}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}} =\sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})^2}{2}} =\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}+1.$$
Ответ
1) $$\frac47,\ \frac18$$; 2) а) $$\sqrt3$$, б) $$\frac{\sqrt3}{3}$$; 3) $$\frac{\tg 6\alpha-\tg 4\alpha}{1+\tg 6\alpha \tg 4\alpha}+\frac{\tg 4\alpha-\tg 2\alpha}{1+\tg 4\alpha \tg 2\alpha}=2\tg 2\alpha$$; 4) $$\frac{840}{1081}$$; 5) $$\sqrt2+1$$.
