Самостоятельная работа 30 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите (tg(?)-ctg(?)):(sin(?)+cos(?)), если sin(?)-cos(?)=-1,2.
3. Докажите равенство (tg(-?)+1)(ctg(?-8?)-1)/((tg(?+5?)-1)(ctg(-?)+1))=1, для тех ?, для которых определена левая часть равенства.

1. Пусть $$\tg \alpha=-\frac{8}{15}, \quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   Так как угол $$\alpha$$ лежит в IV четверти, то $$\cos \alpha>0$$, $$\sin \alpha<0$$.

   Найдём $$\cos \alpha$$:

   $$ \cos \alpha=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 \alpha}} =\sqrt{\frac{1}{1+\frac{64}{225}}} =\sqrt{\frac{225}{289}} =\frac{15}{17}. $$

   Тогда

   $$ \sin \alpha=\tg \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{8}{15}\cdot \frac{15}{17} =-\frac{8}{17}. $$

   И

   $$ \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=-\frac{15}{8}. $$

2. Обозначим

   $$ S=(\tg \alpha-\ctg \alpha):(\sin \alpha+\cos \alpha). $$

   Преобразуем:

   $$ \tg \alpha-\ctg \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} =\frac{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} =\frac{(\sin \alpha-\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}. $$

   Тогда

   $$ S=\frac{(\sin \alpha-\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}:(\sin \alpha+\cos \alpha) =\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}. $$

   По условию $$\sin \alpha-\cos \alpha=-1{,}2$$, а

   $$ (\sin \alpha-\cos \alpha)^2=\sin^2 \alpha-2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha =1-2\sin \alpha \cos \alpha. $$

   Значит,

   $$ 1-2\sin \alpha \cos \alpha=1{,}44, $$

   откуда

   $$ \sin \alpha \cos \alpha=-0{,}22=-\frac{11}{50}. $$

   Тогда

   $$ S=\frac{-1{,}2}{-\frac{11}{50}}=\frac{60}{11}. $$

3. Рассмотрим левую часть:

   $$ \frac{(\tg(-\alpha)+1)(\ctg(\alpha-8\pi)-1)}{(\tg(\alpha+5\pi)-1)(\ctg(-\alpha)+1)}. $$

   Используем формулы приведения:

   $$ \tg(-\alpha)=-\tg \alpha,\quad \ctg(\alpha-8\pi)=\ctg \alpha, $$

   $$ \tg(\alpha+5\pi)=\tg(\alpha+\pi)=\tg \alpha,\quad \ctg(-\alpha)=-\ctg \alpha. $$

   Тогда

   $$ \frac{(-\tg \alpha+1)(\ctg \alpha-1)}{(\tg \alpha-1)(-\ctg \alpha+1)} = \frac{(1-\tg \alpha)(\ctg \alpha-1)}{(\tg \alpha-1)(1-\ctg \alpha)}. $$

   Так как $$1-\tg \alpha=-(\tg \alpha-1)$$ и $$\ctg \alpha-1=-(1-\ctg \alpha)$$, то числитель и знаменатель одинаковы, следовательно, дробь равна $$1$$.

Ответ

1) $$\sin \alpha=-\frac{8}{17},\ \cos \alpha=\frac{15}{17},\ \ctg \alpha=-\frac{15}{8}$$; 2) $$\frac{60}{11}$$; 3) $$1$$.