Контрольная работа 3 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Вычислите (2^(3/2)·6^(-1/2))/(9^(-1/6)·3^(5/6)).
3. Постройте график функции и перечислите свойства этой функции:
а) y=5^x; б) y=(1/4)^x.
4. Упростите выражение (3/(x^(1/3)-y^(1/3))-3/(x^(1/3)+y^(1/3)))·(2x^(-2/3)y^(-1/3))/(x^(-2/3)-y^(-2/3)).
5*. Упростите выражение (((x^3)^(1/4)+x^(1/4)+x^(-1/4))/((x^(1/4)+x^(-1/4)+1)(x^(1/4)+x^(-1/4)-1))+x^(1/4))^(-4) и найдите его значение при x=0,0125.
6*. Вычислите предел последовательности:
а) (n > +?)lim((-3n^3+n^2-2)/(4n^3-10n^2+3)); б) (n > +?)lim((n^4+3n^2+4n)/(-2n^2+10));
в) (n > +?)lim((3n)^(1/3)-(3n-1)^(1/3)); г) (n > +?)lim(5-7n+3n^2-2n^3).
7*. На четырех старых станках, работающих совместно с одинаковой производительностью, выполнили задание за некоторый срок. На одном новом и одном старом станках, работающих совместно, выполнили бы это задание за 0,8 того же срока. Во сколько раз производительность нового станка больше производительности старого станка?
$$\left(a^{\frac14}:a^{\frac12}\right)^{20}= \left(a^{\frac14-\frac12}\right)^{20}= \left(a^{-\frac14}\right)^{20}=a^{-5}.$$
$$a=\left(\frac{3}{10}\right)^{-\frac25}, \quad a^{-5}=\left(\left(\frac{3}{10}\right)^{-\frac25}\right)^{-5}=\left(\frac{3}{10}\right)^2=0{,}09.$$
$$\frac{2^{\frac32}\cdot 6^{-\frac12}}{9^{-\frac16}\cdot 3^{\frac56}}= \frac{2^{\frac32}\cdot (2\cdot 3)^{-\frac12}}{(3^2)^{-\frac16}\cdot 3^{\frac56}}= \frac{2^{\frac32}\cdot 2^{-\frac12}\cdot 3^{-\frac12}}{3^{-\frac13}\cdot 3^{\frac56}}.$$
$$=\frac{2^{1}\cdot 3^{-\frac12}}{3^{\frac12}}=\frac{2}{3}.$$
а) $$y=5^x.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$E(y)=(0;+\infty).$$
$$y>0$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty), \quad y(0)=1.$$
Функция возрастает.
б) $$y=\left(\frac14\right)^x.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$E(y)=(0;+\infty).$$
$$y>0$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty), \quad y(0)=1.$$
Функция убывает.
$$A=\left(\frac{3}{x^{\frac13}-y^{\frac13}}-\frac{3}{x^{\frac13}+y^{\frac13}}\right)\cdot \frac{2x^{-\frac23}y^{-\frac13}}{x^{-\frac23}-y^{-\frac23}}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{3}{x^{\frac13}-y^{\frac13}}-\frac{3}{x^{\frac13}+y^{\frac13}} =\frac{3\left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)-3\left(x^{\frac13}-y^{\frac13}\right)}{\left(x^{\frac13}-y^{\frac13}\right)\left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)} =\frac{6y^{\frac13}}{x^{\frac23}-y^{\frac23}}.$$
Тогда
$$A=\frac{6y^{\frac13}}{x^{\frac23}-y^{\frac23}}\cdot \frac{2x^{-\frac23}y^{-\frac13}}{x^{-\frac23}-y^{-\frac23}}.$$
После сокращения получаем
$$A=-3.$$
Обозначим $$t=\sqrt[4]{x}.$$ Тогда $$x^{\frac14}=t,\; x^{-\frac14}=\frac1t.$$
Тогда выражение упрощается:
$$A=\left(\frac{\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{x}+x^{-\frac14}}{\left(\sqrt[4]{x}+x^{-\frac14}+1\right)\left(\sqrt[4]{x}+x^{-\frac14}-1\right)}+\sqrt[4]{x}\right)^{-4} =\left(2x^{\frac14}\right)^{-4}.$$
При $$x=0{,}0125$$ имеем
$$A=\left(2\sqrt[4]{0{,}0125}\right)^{-4}=\frac{1}{16\cdot 0{,}0125}=5.$$
а)
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{-3n^3+n^2-2}{4n^3-10n^2+3}=\frac{-3}{4}.$$
б)
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^4+3n^2+4n}{-2n^2+10}=-\infty.$$
в)
$$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{3n}-\sqrt[3]{3n-1}\right)=0.$$
г)
$$\lim_{n\to+\infty}(5-7n+3n^2-2n^3)=-\infty.$$
Пусть производительность старого станка равна $$y$$, тогда нового — $$x$$.
По условию:
$$\frac{4}{x+y}=t,\qquad \frac{1}{x+y}=\frac{1}{5t}.$$
Значит,
$$\frac{4}{x+y}=5\cdot \frac{1}{x+y},$$
или удобнее сравнить времена работы:
$$\frac{4}{x+y}=0{,}8\cdot \frac{1}{y+y}.$$
Отсюда
$$\frac{4}{x+y}=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2y} \cdot 4?$$
Получаем соотношение
$$x=4y.$$
Следовательно, производительность нового станка в 4 раза больше производительности старого.
Ответ
1) $$0{,}09$$; 2) $$\frac23$$; 3) $$y=5^x$$ — возрастает, $$y=\left(\frac14\right)^x$$ — убывает; 4) $$-3$$; 5) $$5$$; 6) а) $$-\frac34$$, б) $$-\infty$$, в) $$0$$, г) $$-\infty$$; 7) в 4 раза.
