Самостоятельная работа 35 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите: а) $$2\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}$$; б) $$\left(\cos\frac{7\pi}{12}-\sin\frac{7\pi}{12}\right)\left(\cos\frac{7\pi}{12}+\sin\frac{7\pi}{12}\right)$$.
- Вычислите $$\sin 2\alpha$$ и $$\cos 2\alpha$$, если $$\cos\alpha=-\frac{5}{13}$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$.
- Докажите равенство $$\operatorname{ctg}2\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^2\alpha-1}{2\operatorname{ctg}\alpha}$$, если $$\alpha\ne\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
- Вычислите: а) $$\sin 67^\circ30’$$; б) $$\cos75^\circ$$.
- Вычислите $$\sin\frac{\alpha}{2}$$ и $$\cos\frac{\alpha}{2}$$, если $$\cos\alpha=-\frac{1}{18}$$, $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$.
$$2\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}=\sin\frac{10\pi}{12}=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12.$$
$$\left(\cos\frac{7\pi}{12}-\sin\frac{7\pi}{12}\right)\left(\cos\frac{7\pi}{12}+\sin\frac{7\pi}{12}\right)=\cos^2\frac{7\pi}{12}-\sin^2\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$\cos\alpha=-\frac{5}{13}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$
Так как угол $$\alpha$$ лежит в III четверти, то $$\sin\alpha<0.$$
$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}.$$
Тогда
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{120}{169},$$
$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{25}{169}-\frac{144}{169}=-\frac{119}{169}.$$
$$\ctg2\alpha=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}.$$
Разделим числитель и знаменатель на $$\sin^2\alpha$$:
$$\ctg2\alpha=\frac{\ctg^2\alpha-1}{2\ctg\alpha}.$$
$$\sin67^\circ30’=\sqrt{\frac{1-\cos135^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$
$$\cos75^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos150^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$
$$\cos\alpha=-\frac{1}{18}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$
Тогда $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right),$$ значит $$\sin\frac{\alpha}{2}>0,\quad \cos\frac{\alpha}{2}<0.$$
$$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{18}}{2}}=-\sqrt{\frac{17}{36}}=-\frac{\sqrt{17}}{6},$$
$$\sin\frac{\alpha}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=+\sqrt{\frac{1+\frac{1}{18}}{2}}=+\sqrt{\frac{19}{36}}=\frac{\sqrt{19}}{6}.$$
Ответ
1) $$\frac12$$; $$-\frac{\sqrt3}{2}$$. 2) $$\sin2\alpha=\frac{120}{169},\ \cos2\alpha=-\frac{119}{169}$$. 3) $$\ctg2\alpha=\frac{\ctg^2\alpha-1}{2\ctg\alpha}$$. 4) $$\sin67^\circ30’=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2},\ \cos75^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$$. 5) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{19}}{6},\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{6}$$.
