Самостоятельная работа 28 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) arcsin(v2/2); б) arcsin(-1);
в) arccos(1/2); г) arccos(-v3/2).
3. Упростите (3—4).
а) sin(arcsin(4/7)); б) cos(arccos(5/9));
в) sin(arccos(12/13)); г) cos(arcsin(-5/13)).
4. а) arcsin(sin(3?/7)); б) arccos(sin(0,9?)); г) arccos(cos(5)).

1. Для точек на единичной окружности используем определения:

   $$\alpha=\arcsin\frac34,\quad \sin\alpha=\frac34,\quad \alpha\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$\beta=\arcsin\left(-\frac34\right),\quad \sin\beta=-\frac34,\quad \beta\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$\varphi=\arccos\left(-\frac34\right),\quad \cos\varphi=-\frac34,\quad \varphi\in[0;\pi]$$

   $$\gamma=\arccos\frac34,\quad \cos\gamma=\frac34,\quad \gamma\in[0;\pi]$$

2. Вычислим значения:

   $$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},\qquad \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$$

   $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\qquad \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}$$

3. Упростим выражения:

   $$\sin\left(\arcsin\frac47\right)=\frac47$$

   $$\cos\left(\arccos\frac59\right)=\frac59$$

   $$\sin\left(\arccos\frac{12}{13}\right)=\sqrt{1-\cos^2\left(\arccos\frac{12}{13}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\frac{5}{13}$$

   $$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\frac{12}{13}$$

4. Используем главные значения обратных тригонометрических функций:

   $$\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{7}\right)=\frac{3\pi}{7},\qquad -\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{7}<\frac{\pi}{2}$$

   $$\arccos(\sin 0{,}9\pi)=\arccos\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-0{,}9\pi\right)\right)=\arccos(\cos 0{,}4\pi)=0{,}4\pi$$

   $$\arccos(\cos 5)=2\pi-5$$

Ответ

1) $\arcsin\frac34,\ \arcsin\left(-\frac34\right),\ \arccos\left(-\frac34\right),\ \arccos\frac34$;
2) а) $\frac{\pi}{4}$; б) $-\frac{\pi}{2}$; в) $\frac{\pi}{3}$; г) $\frac{5\pi}{6}$;
3) а) $\frac47$; б) $\frac59$; в) $\frac{5}{13}$; г) $\frac{12}{13}$;
4) а) $\frac{3\pi}{7}$; б) $0{,}4\pi$; в) $2\pi-5$.