Самостоятельная работа 27 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Докажите, что для любых ? справедливо равенство cos(3?+?)=-cos(?).
3. Вычислите (cos(17?/3)+sin(25?/6))·sin(-31,5?):cos(-35?/4).
4. Вычислите (v((1-cos(?))/(1+cos(?)))-v((1+cos(?))/(1-cos(?)))):|cos(?)|, если sin(?)=2/9, ?/2 < ? < ?.
$$\cos \alpha=-\frac{15}{17}, \qquad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$
Так как угол $\alpha$ лежит в III четверти, то $$\sin \alpha<0.$$
$$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{15^2}{17^2}}$$
$$=-\sqrt{1-\frac{225}{289}}=-\sqrt{\frac{64}{289}}=-\frac{8}{17}.$$$$\cos(3\pi+\alpha)=\cos(2\pi+\pi+\alpha)=\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha.$$
$$S=\left(\cos\frac{17\pi}{3}+\sin\frac{25\pi}{6}\right)\cdot \sin(-31{,}5\pi):\cos\left(-\frac{35\pi}{4}\right).$$
Приведём углы к удобному виду:
$$\cos\frac{17\pi}{3}=\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12,$$
$$\sin\frac{25\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$
$$\sin(-31{,}5\pi)=\sin\left(-\frac{63\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$
$$\cos\left(-\frac{35\pi}{4}\right)=\cos\frac{35\pi}{4}=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$Тогда
$$S=\left(\frac12+\frac12\right)\cdot 1:\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=1:\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\sqrt2.$$$$S=\left(\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}\right):|\cos\alpha|,$$
$$\sin\alpha=\frac29,\qquad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$Так как $\alpha$ во II четверти, то $$\cos\alpha<0,\qquad |\cos\alpha|=-\cos\alpha.$$
Обозначим
$$a=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\qquad b=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.$$
Тогда
$$a-b=\frac{(1-\cos\alpha)-(1+\cos\alpha)}{\sqrt{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}}=\frac{-2\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}.$$Следовательно,
$$S=\frac{-2\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}:(-\cos\alpha)=\frac{2}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}=\frac{2}{|\sin\alpha|}.$$Так как $$\sin\alpha=\frac29,$$ то
$$S=\frac{2}{2/9}=9.$$
Ответ
1) $$-\frac{8}{17}$$; 2) $$\cos(3\pi+\alpha)=-\cos\alpha$$; 3) $$-\sqrt2$$; 4) $$9$$.
