Самостоятельная работа 26 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам ?, ?, ? и ? (рис. 33). Определите значения синуса и косинуса каждого из этих углов.
3. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам ?, для каждого из которых справедливо равенство:
а) sin(?)=1; б) sin(?)=-v3/2;
в) cos(?)=v2/2; г) cos(?)=-1/2.
Запишите все такие углы ?.

1. Для острого угла прямоугольного треугольника по определению:

   $$\sin \alpha=\frac{m}{n}, \qquad \cos \alpha=\frac{k}{n}.$$

2. На единичной окружности координаты точки, соответствующей углу, равны $$\bigl(\cos \alpha,\sin \alpha\bigr).$$ Поэтому:

   $$\alpha=\frac{\pi}{3}, \qquad \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos \alpha=\frac{1}{2};$$

   $$\beta=\frac{2\pi}{3}, \qquad \sin \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos \beta=-\frac{1}{2};$$

   $$\gamma=\frac{4\pi}{3}, \qquad \sin \gamma=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos \gamma=-\frac{1}{2};$$

   $$\varphi=\frac{5\pi}{3}, \qquad \sin \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos \varphi=\frac{1}{2}.$$

3. Найдём все углы, для которых выполняются данные равенства:

   а) $$\sin \alpha=1.$$ Это верхняя точка единичной окружности, значит

   $$\alpha=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   б) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Такие углы соответствуют точкам с ординатой $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, поэтому

   $$\alpha=\frac{4\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   в) $$\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Это точки с абсциссой $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, значит

   $$\alpha=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   г) $$\cos \alpha=-\frac{1}{2}.$$ Это точки с абсциссой $$-\frac{1}{2}$$, поэтому

   $$\alpha=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$\sin \alpha=\frac{m}{n},\ \cos \alpha=\frac{k}{n}.$$

2) $$\alpha=\frac{\pi}{3},\ \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \cos \alpha=\frac{1}{2};$$ $$\beta=\frac{2\pi}{3},\ \sin \beta=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \cos \beta=-\frac{1}{2};$$ $$\gamma=\frac{4\pi}{3},\ \sin \gamma=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \cos \gamma=-\frac{1}{2};$$ $$\varphi=\frac{5\pi}{3},\ \sin \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \cos \varphi=\frac{1}{2}.$$

3) а) $$\alpha=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$\alpha=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$ или $$\alpha=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$\alpha=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n$$; г) $$\alpha=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ или $$\alpha=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}.$$