Самостоятельная работа 32 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. $$\sin 111^\circ \cos 21^\circ-\sin 21^\circ \cos 111^\circ=\sin(111^\circ-21^\circ)=\sin 90^\circ=1.$$

   $$\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{21}+\sin \frac{4\pi}{21}\cos \frac{\pi}{7} =\sin\left(\frac{\pi}{7}+\frac{4\pi}{21}\right) =\sin \frac{7\pi}{21} =\sin \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

2. $$\cos(5x-2y)\cos(x-2y)+\sin(5x-2y)\sin(x-2y)$$
   $$=\cos\bigl((5x-2y)-(x-2y)\bigr)=\cos 4x.$$

3. $$\frac{\cos 23^\circ \cos 22^\circ-\sin 23^\circ \sin 22^\circ}{\sin 19^\circ \cos 26^\circ+\sin 26^\circ \cos 19^\circ} =\frac{\cos(23^\circ+22^\circ)}{\sin(19^\circ+26^\circ)} =\frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ}=1.$$

4. $$A=\frac{\sin 56^\circ \cos 79^\circ+\sin 79^\circ \cos 56^\circ}{\cos 66^\circ \cos 44^\circ-\sin 66^\circ \sin 44^\circ} =\frac{\sin(56^\circ+79^\circ)}{\cos(66^\circ+44^\circ)} =\frac{\sin 135^\circ}{\cos 110^\circ}.$$

   Так как $$\sin 135^\circ>0,$$ а $$\cos 110^\circ<0,$$ то $$A<0.$$

   $$B=\frac{\sin 37^\circ+\cos 37^\circ}{1-\cos 74^\circ+\sin 74^\circ}>0.$$

   Следовательно, $$B>A,$$ то есть первое выражение меньше второго.

5. $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right) =2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
   $$=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то
   $$-2\le 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le 2.$$

   Наименьшее значение равно $$-2,$$ наибольшее — $$2.$$

6. Пусть $$\alpha=\arccos 0{,}6,$$ $$\beta=\arccos \frac{5}{13}.$$ Тогда
   $$\cos\alpha=0{,}6=\frac35,\qquad \cos\beta=\frac{5}{13}.$$

   Поскольку $$\alpha,\beta\in[0;\pi],$$ то
   $$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8=\frac45,$$
   $$\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

   Тогда
   $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
   $$=\frac35\cdot\frac{5}{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13} =\frac{15}{65}+\frac{48}{65} =\frac{63}{65}.$$

Ответ

1) $$1;\ \frac{\sqrt3}{2}$$
2) $$\cos 4x$$
3) $$1$$
4) первое выражение меньше второго
5) $$-2,\ 2$$
6) $$\frac{63}{65}$$