Самостоятельная работа 30 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите $$\sin\alpha$$, $$\cos\alpha$$, $$\operatorname{ctg}\alpha$$, если $$\operatorname{tg}\alpha=-\frac{8}{15}$$, $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$.
- Вычислите $$\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{ctg}\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}$$, если $$\sin\alpha-\cos\alpha=-1{,}2$$.
- Докажите равенство $$\frac{(\operatorname{tg}(-\alpha)+1)(\operatorname{ctg}(\alpha-8\pi)-1)}{(\operatorname{tg}(\alpha+5\pi)-1)(\operatorname{ctg}(-\alpha)+1)}=1$$ для тех $$\alpha$$, для которых определена левая часть равенства.
Пусть $$\tg \alpha=-\frac{8}{15}, \quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$
Так как угол $$\alpha$$ лежит в IV четверти, то $$\cos \alpha>0$$, $$\sin \alpha<0$$.
Найдём $$\cos \alpha$$:
$$\cos \alpha=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 \alpha}} =\sqrt{\frac{1}{1+\frac{64}{225}}} =\sqrt{\frac{225}{289}} =\frac{15}{17}.$$
Тогда
$$\sin \alpha=\tg \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{8}{15}\cdot \frac{15}{17} =-\frac{8}{17}.$$
И
$$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=-\frac{15}{8}.$$
Обозначим
$$S=(\tg \alpha-\ctg \alpha):(\sin \alpha+\cos \alpha).$$
Преобразуем:
$$\tg \alpha-\ctg \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} =\frac{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} =\frac{(\sin \alpha-\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}.$$
Тогда
$$S=\frac{(\sin \alpha-\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}:(\sin \alpha+\cos \alpha) =\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}.$$
По условию $$\sin \alpha-\cos \alpha=-1{,}2$$, а
$$(\sin \alpha-\cos \alpha)^2=\sin^2 \alpha-2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha =1-2\sin \alpha \cos \alpha.$$
Значит,
$$1-2\sin \alpha \cos \alpha=1{,}44,$$
откуда
$$\sin \alpha \cos \alpha=-0{,}22=-\frac{11}{50}.$$
Тогда
$$S=\frac{-1{,}2}{-\frac{11}{50}}=\frac{60}{11}.$$
Рассмотрим левую часть:
$$\frac{(\tg(-\alpha)+1)(\ctg(\alpha-8\pi)-1)}{(\tg(\alpha+5\pi)-1)(\ctg(-\alpha)+1)}.$$
Используем формулы приведения:
$$\tg(-\alpha)=-\tg \alpha,\quad \ctg(\alpha-8\pi)=\ctg \alpha,$$
$$\tg(\alpha+5\pi)=\tg(\alpha+\pi)=\tg \alpha,\quad \ctg(-\alpha)=-\ctg \alpha.$$
Тогда
$$\frac{(-\tg \alpha+1)(\ctg \alpha-1)}{(\tg \alpha-1)(-\ctg \alpha+1)} = \frac{(1-\tg \alpha)(\ctg \alpha-1)}{(\tg \alpha-1)(1-\ctg \alpha)}.$$
Так как $$1-\tg \alpha=-(\tg \alpha-1)$$ и $$\ctg \alpha-1=-(1-\ctg \alpha)$$, то числитель и знаменатель одинаковы, следовательно, дробь равна $$1$$.
Ответ
1) $$\sin \alpha=-\frac{8}{17},\ \cos \alpha=\frac{15}{17},\ \ctg \alpha=-\frac{15}{8}$$; 2) $$\frac{60}{11}$$; 3) $$1$$.
