Самостоятельная работа 3 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Решите квадратное уравнение:
а) $$3x^2-5x-2=0$$;
б) $$9x^2-6x+1=0$$;
в) $$2x^2-3x+4=0$$. - Верно ли, что число $$x_1=1$$ является корнем уравнения:
а) $$x^2-100x-101=0$$;
б) $$x^2+6x+5=0$$;
в) $$3x^2+5x+2=0$$?
Если да, то найдите корень $$x_2$$ и разложите квадратный трехчлен в левой части уравнения на линейные множители. - Если квадратное уравнение $$x^2-12x+2=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$, то, не вычисляя их, найдите значение числового выражения $$x_1^3+x_2^3$$.
Решим квадратные уравнения.
а) $$3x^2-5x-2=0$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2\cdot 3}$$
$$x_1=\frac{5-7}{6}=-\frac13,\qquad x_2=\frac{5+7}{6}=2$$
б) $$9x^2-6x+1=0$$
$$9x^2-6x+1=(3x-1)^2$$
$$3x-1=0,\qquad x=\frac13$$
в) $$2x^2-3x+4=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23<0$$
Корней нет.
Проверим, является ли число $$x_1=1$$ корнем уравнения.
а) $$x^2-100x-101=0$$
$$f(1)=1-100-101=-200\neq 0$$
Число $$1$$ не является корнем.
б) $$x^2+6x+5=0$$
$$f(1)=1+6+5=12\neq 0$$
Число $$1$$ не является корнем.
в) $$3x^2+5x+2=0$$
$$f(1)=3+5+2=10\neq 0$$
Число $$1$$ не является корнем.
Найдём значение выражения $$x_1^3+x_2^3$$, если корни уравнения $$x^2-12x+2=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$.
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=12,\qquad x_1x_2=2$$
Используем формулу:
$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr)$$
Тогда
$$x_1^3+x_2^3=12(12^2-3\cdot 2)=12(144-6)=12\cdot 138=1656$$
Ответ
1) а) $$-\frac13,\ 2$$; б) $$\frac13$$; в) корней нет. 2) а) нет; б) нет; в) нет. 3) $$1656$$.
