Самостоятельная работа 23 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 256·3^x-81·4^x=0;
б) 5^(x-3)-5^(x-4)=2^(x-2);
в) 3·9^(x+1)-30·6^x+2·4^(x+1).
2. Решите неравенство:
а) 6^(x-1) > 3^(2x-2);
б) 3^(x+3)-11·3^x < 9·4^x;
в) 6·9^x-13·6^x+6·4^x > 0.
а)
$$256\cdot 3^x-81\cdot 4^x=0$$
$$256\cdot 3^x=81\cdot 4^x$$
$$\frac{4^x}{3^x}=\frac{256}{81}$$
$$\left(\frac{4}{3}\right)^x=\left(\frac{4}{3}\right)^4$$
$$x=4.$$б)
$$5^{x-3}-5^{x-4}=2^{x-2}$$
$$\frac{1}{125}\cdot 5^x-\frac{1}{625}\cdot 5^x=\frac{1}{4}\cdot 2^x$$
$$\frac{4}{625}\cdot 5^x=\frac{1}{4}\cdot 2^x$$
$$\frac{5^x}{2^x}=\frac{625}{16}$$
$$\left(\frac{5}{2}\right)^x=\left(\frac{5}{2}\right)^4$$
$$x=4.$$в)
$$3\cdot 9^{x+1}-30\cdot 6^x+2\cdot 4^{x+1}=0$$
$$3\cdot 9\cdot 9^x-30\cdot 6^x+2\cdot 4\cdot 4^x=0$$
$$27\left(\frac{9}{4}\right)^x-30\left(\frac{3}{2}\right)^x+8=0$$
Пусть $$y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{9}{4}\right)^x=y^2$$. Получаем:
$$27y^2-30y+8=0$$
$$D=30^2-4\cdot 27\cdot 8=36$$
$$y_{1,2}=\frac{30\pm 6}{54}$$
$$y_1=\frac{4}{9},\quad y_2=\frac{2}{3}.$$
Тогда
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{4}{9}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-2},\quad x=-2,$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{2}{3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1},\quad x=-1.$$а)
$$6^{x-1}>3^{2x-2}$$
$$\frac{1}{6}\cdot 6^x>\frac{1}{9}\cdot 9^x$$
$$\left(\frac{9}{6}\right)^x<\frac{9}{6}$$ $$x<1.$$б)
$$3^{x+3}-11\cdot 3^x<9\cdot 4^x$$ $$27\cdot 3^x-11\cdot 3^x<9\cdot 4^x$$ $$16\cdot 3^x<9\cdot 4^x$$ $$\frac{4^x}{3^x}>\frac{16}{9}$$
$$\left(\frac{4}{3}\right)^x>\left(\frac{4}{3}\right)^2$$
$$x>2.$$в)
$$6\cdot 9^x-13\cdot 6^x+6\cdot 4^x>0$$
$$6\left(\frac{9}{4}\right)^x-13\left(\frac{3}{2}\right)^x+6>0$$
Пусть $$y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{9}{4}\right)^x=y^2$$. Получаем:
$$6y^2-13y+6>0$$
$$D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=25$$
$$y_{1,2}=\frac{13\pm 5}{12}$$
$$y_1=\frac{2}{3},\quad y_2=\frac{3}{2}.$$
Тогда
$$\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)>0,$$
откуда
$$y<\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad y>\frac{3}{2}.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x<\frac{2}{3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\Rightarrow x<-1,$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^x>\frac{3}{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^1\Rightarrow x>1.$$
Ответ
1) а) $$4$$; б) $$4$$; в) $$-2,\,-1$$.
2) а) $$(-\infty;1)$$; б) $$(2;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$.
