Самостоятельная работа 22 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) (1/4)^x?2; б) (0,7)^x?-0,7; в) 4^(2x-1) > 1/2;
г) log(0,2; x)?-1; д) log(5; 4x+1) < 2; е) 7^x-44·7^(x-2) < 35. 2. а) (1/4)^x-9·(1/2)^x?-8; б) 64^x-4·8^x+4 > 0;
в) (lg(x))^2+2lg(x)-3 > 0; г) (log(0,5; x))^2-log(0,5; x)-6 < 0. 3. а) log(6; 3,6)/(2-log(6; x))?1; б) 25^x-10·5^x+24+1/(25^x-10·5^x+26) > 0;
в) (4+v15)^(2x)-8·(1/(4-v15))^x+1?0.

1. а) $$\left(\frac14\right)^x \ge 2$$

   $$2^{-2x} \ge 2^1$$

   $$-2x \ge 1,\quad x \le -\frac12$$

   Ответ: $$(-\infty;\,-0{,}5]$$

2. б) $$\left(0{,}7\right)^x \le -0{,}7$$

   Так как $$\left(0{,}7\right)^x > 0$$ при любых $$x$$, неравенство решений не имеет.

   Ответ: решений нет.

3. в) $$4^{2x-1} > \frac12$$

   $$4^{2x-1} > 4^{-1/2}$$

   $$2x-1 > -\frac12,\quad 2x > \frac12,\quad x > \frac14$$

   Ответ: $$(0{,}25;\,+\infty)$$

4. г) $$\log_{0{,}2} x \ge -1$$

   При основании $$0{,}2<1$$ знак неравенства меняется:

   $$0 < x \le 0{,}2^{-1} = 5$$

   Ответ: $$(0;\,5]$$

5. д) $$\log_5(4x+1) < 2$$

   $$0 < 4x+1 < 5^2$$

   $$0 < 4x+1 < 25$$

   $$-1 < 4x < 24,\quad -\frac14 < x < 6$$

   Ответ: $$(-0{,}25;\,6)$$

6. е) $$7^x — 44\cdot 7^{x-2} < 35$$

   $$7^x — 44\cdot \frac{1}{49}\cdot 7^x < 35$$

   $$\left(1-\frac{44}{49}\right)7^x < 35$$

   $$\frac{5}{49}7^x < 35,\quad 7^x < 343 = 7^3$$

   $$x < 3$$

   Ответ: $$(-\infty;\,3)$$

Ход решения

1. а) $$\left(\frac14\right)^x — 9\left(\frac12\right)^x \ge -8$$

   Положим $$y=\left(\frac12\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$y^2-9y+8\ge 0$$

   $$D=9^2-4\cdot 8=49,\quad y_1=1,\quad y_2=8$$

   $$(y-1)(y-8)\ge 0,\quad y\le 1 \ \text{или}\ y\ge 8$$

   $$\left(\frac12\right)^x \le 1 \Rightarrow x\ge 0$$

   $$\left(\frac12\right)^x \ge 8=2^3 \Rightarrow x\le -3$$

   Ответ: $$(-\infty;\,-3]\cup[0;\,+\infty)$$

2. б) $$64^x-4\cdot 8^x+4>0$$

   Положим $$y=8^x,\quad y>0.$$ Тогда $$64^x=(8^x)^2=y^2,$$ и получаем

   $$y^2-4y+4>0$$

   $$ (y-2)^2>0,\quad y\ne 2$$

   $$8^x\ne 2,\quad 2^{3x}\ne 2,\quad 3x\ne 1,\quad x\ne \frac13$$

   Ответ: $$(-\infty;\,\tfrac13)\cup(\tfrac13;\,+\infty)$$

3. в) $$(\lg x)^2+2\lg x-3>0$$

   Положим $$y=\lg x,\quad x>0.$$ Тогда

   $$y^2+2y-3>0$$

   $$D=2^2+4\cdot 3=16,\quad y_1=-3,\quad y_2=1$$

   $$ (y+3)(y-1)>0,\quad y<-3 \ \text{или}\ y>1$$

   $$\lg x<-3 \Rightarrow 0

   $$\lg x>1 \Rightarrow x>10$$

   Ответ: $$(0;\,0{,}001)\cup(10;\,+\infty)$$

4. г) $$(\log_{0{,}5} x)^2-\log_{0{,}5} x-6<0$$

   Положим $$y=\log_{0{,}5}x,\quad x>0.$$ Тогда

   $$y^2-y-6<0$$

   $$D=1+24=25,\quad y_1=-2,\quad y_2=3$$

   $$ (y+2)(y-3)<0,\quad -2

   Так как основание $$0{,}5<1,$$ получаем

   $$-2<\log_{0{,}5}x<3$$

   $$2^{-3}

   $$\frac18

   Ответ: $$(\tfrac18;\,4)$$

Ход решения

1. а) $$\frac{\log_6 3{,}6}{2-\log_6 x}\le 1$$

   Положим $$y=2-\log_6 x.$$ Тогда $$\log_6 3{,}6=\log_6 y,$$ и нужно рассмотреть случаи.

   1) $$y>0$$, то есть $$\log_6 3{,}6\le y$$:

   $$2-\log_6 x\ge \log_6 3{,}6$$

   $$\log_6(3{,}6x)\le 2$$

   $$3{,}6x\le 36,\quad 0

   2) $$y<0$$, то есть $$\log_6 3{,}6\ge y$$:

   $$2-\log_6 x\le \log_6 3{,}6$$

   $$x\ge 10$$

   Ответ: $$(0;\,10]\cup(36;\,+\infty)$$

2. б) $$25^x-10\cdot 5^x+24+\frac{1}{25^x-10\cdot 5^x+26}>0$$

   Положим $$y=25^x-10\cdot 5^x+24.$$ Тогда

   $$y+\frac{1}{y+2}>0$$

   $$\frac{y(y+2)+1}{y+2}>0$$

   $$\frac{(y+1)^2}{y+2}>0$$

   Отсюда $$y>-1,\quad y\ne -2.$$

   Положим $$z=5^x>0.$$ Тогда

   $$25^x-10\cdot 5^x+24=z^2-10z+24=(z-5)^2-1$$

   Условие $$y>-1$$ даёт

   $$z^2-10z+25>0,\quad (z-5)^2>0,\quad z\ne 5$$

   $$5^x\ne 5,\quad x\ne 1$$

   Ответ: $$(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$$

3. в) $$(4+\sqrt{15})^{2x}-8\left(\frac{1}{4-\sqrt{15}}\right)^x+1\le 0$$

   Так как $$\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15},$$ получаем

   $$ (4+\sqrt{15})^{2x}-8(4+\sqrt{15})^x+1\le 0$$

   Положим $$y=(4+\sqrt{15})^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$y^2-8y+1\le 0$$

   $$D=64-4=60,\quad y_{1,2}=4\pm \sqrt{15}$$

   $$4-\sqrt{15}\le y\le 4+\sqrt{15}$$

   Так как $$4+\sqrt{15}>1,$$ то

   $$1\le x\le 1$$

   Ответ: $$[1;\,1]$$